Параллельное соединение пассивных систем

Рассмотрим взаимосвязь двух подсистем $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ параллельно. Взаимосвязанная система $$H$$ отображает входной сигнал $$r$$ на выходной сигнал $$y$$.

Если обе системы $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ являются пассивными, то взаимосвязанная система $$H$$ гарантированно будет пассивной. Возьмем, например,

Обе системы пассивны.

G1 = tf([0.1,1],[1,2]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,2,1],[1,3,10]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Поэтому мы можем ожидать, что их параллельное соединение $$H$$ будет пассивным, что подтверждается

H = parallel(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
   1

Индексы пассивности для параллельного соединения

Есть отношения между индексами пассивности $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ и индексами пассивности взаимосвязанной системы $$H$$. Позвольте $${}_{\mathrm{\nu 1}}$$, и $${}_{\mathrm{\nu 2}}$$ обозначают входные индексы пассивности для $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$, и позволяют $${}_{\mathrm{\rho 1}}$$, и $${}_{\mathrm{\rho 2}}$$ обозначают индексы пассивности продукции. Если все эти индексы неотрицательны, то входной индекс пассивности, $$и$$ выходной индекс пассивности, $$\mathrm{для}$$ параллельного соединения $$H$$ удовлетворяют

Другими словами, мы можем вывести некоторый минимальный уровень входной и выходной пассивности для параллельного соединения $$Н$$ из индексов входной и выходной пассивности $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$. Подробнее см. статью Ю, Х. «Пассивность и рассеяние как инструменты проектирования и анализа для сетевых систем управления», глава 2, кандидатская диссертация, Университет Нотр-Дам, 2012. Проверьте нижнюю границу для входного индекса пассивности$$$$

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Input passivity index for H
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = 0.3777

% Lower bound
nu1+nu2

ans = 0.1474

Аналогично, проверьте нижнюю границу для индекса пассивности на выходе $$H$$.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Output passivity index for H
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = 0.6443

% Lower bound
rho1*rho2/(rho1+rho2)

ans = 0.2098