Обратная связь пассивных систем

Рассмотрим взаимосвязь двух подсистем $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ в обратной связи. Взаимосвязанная система $$H$$ отображает входной сигнал $$r$$ на выходной сигнал $${}_{\mathrm{y1}}$$.

Если обе системы $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ являются пассивными, то взаимосвязанная система $$H$$ гарантированно будет пассивной. Возьмем, например,

Обе системы пассивны, что подтверждается

G1 = tf([1,1,1],[1,1,4]); 
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,2],[1,5]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Поэтому взаимосвязанная система является пассивной.

H = feedback(G1,G2);
isPassive(H)

ans = logical
   1

Это подтверждается проверкой того, что Найквистский сюжет $$Н$$ является положительным реальным.

nyquist(H)

Индексы пассивности для взаимодействия обратной связи

Есть отношения между индексами пассивности $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ и индексами пассивности взаимосвязанной системы $$H$$. Позвольте $${}_{\mathrm{\nu 1}}$$, и $${}_{\mathrm{\nu 2}}$$ обозначают входные индексы пассивности для $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$, и позволяют $${}_{\mathrm{\rho 1}}$$, и $${}_{\mathrm{\rho 2}}$$ обозначают индексы пассивности продукции. Если все эти индексы являются положительными, то входной индекс пассивности$$$$$$$$$$$$

Другими словами, мы можем вывести некоторый минимальный уровень входной и выходной пассивности для системы с замкнутым контуром $$H$$ из индексов входной и выходной пассивности $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$. Подробнее см. статью Чжу, Ф. и Ся, М и Анцаклиса, P.J., «Анализ пассивности и пассивность систем обратной связи с использованием индексов пассивности», American Control Conference, 2014, pp. 1833-1838. Проверьте нижнюю границу для входного индекса пассивности$$$$

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = 0.1293

% Lower bound
nu1*rho2/(nu1+rho2)

ans = 7.1402e-11

Аналогично, проверьте нижнюю границу для индекса пассивности на выходе $$H$$.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = 0.4441

% Lower bound
rho1+nu2

ans = 0.4000