Последовательное соединение пассивных систем

Рассмотрим взаимосвязь двух подсистем $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ последовательно. Взаимосвязанная система $$Н$$ задается отображением от входа $$u$$ к выходу $${}_{\mathrm{y2}}$$.

В отличие от параллельных взаимосвязей и взаимосвязей обратной связи пассивность подсистем $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ не гарантирует пассивность для взаимосвязанной системы $$$$H. Возьмем, например,

Обе системы пассивны, что подтверждается

G1 = tf([5 3 1],[1,2,1]);
isPassive(G1)

ans = logical
   1

G2 = tf([1,1,5,.1],[1,2,3,4]);
isPassive(G2)

ans = logical
   1

Однако последовательное соединение $${}_{\mathrm{G1}}$$ и $${}_{\mathrm{G2}}$$ не является пассивным:

H = G2*G1;
isPassive(H)

ans = logical
   0

Это подтверждается проверкой того, что Найквистский сюжет $${}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{G2G1}}$$ не является положительным реальным.

nyquist(H)

Индексы пассивности для последовательного соединения

Хотя последовательное соединение пассивных систем не является пассивным в целом, существует зависимость между индексами пассивности $${\mathrm{G1}}_{\mathrm{}}$$и $${\mathrm{G2}}_{\mathrm{}}$$и индексами пассивности H $$={}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}$$G2G1. Пусть $${}_{\mathrm{}}$$start1 и $${}_{\mathrm{}}$$start2 обозначают входные индексы пассивности для $${}_{\mathrm{}}$$G1 и $${}_{\mathrm{}}$$G2, а formula $${}_{\mathrm{}}$$1 и $${}_{\mathrm{}}$$α2 обозначают выходные индексы пассивности. Если все эти индексы являются положительными, то входной индекс пассивности$$$$$$$$$$$$

Другими словами, недостаток пассивности на входах или выходах $$Н$$ не хуже, чем правые выражения. Подробности см. в статье Arcak, M. и Sontag, E.D., «Диагональная устойчивость класса циклических систем и его связь с критерием секущей», Automatica, Vol 42, № 9, 2006, стр. 1531-1537. Проверьте эти нижние границы для примера выше.

% Output passivity index for G1
rho1 = getPassiveIndex(G1,'output');
% Output passivity index for G2
rho2 = getPassiveIndex(G2,'output');
% Input passivity index for H=G2*G1
nu = getPassiveIndex(H,'input')

nu = -1.2886

% Lower bound
-0.125/(rho1*rho2)

ans = -2.4194

Аналогично, проверьте нижнюю границу для индекса пассивности на выходе $$H$$.

% Input passivity index for G1
nu1 = getPassiveIndex(G1,'input');
% Input passivity index for G2
nu2 = getPassiveIndex(G2,'input');
% Output passivity index for H=G2*G1
rho = getPassiveIndex(H,'output')

rho = -0.6966

% Lower bound
-0.125/(nu1*nu2)

ans = -6.0000