Пассивные системы

Линейная система $$G(s$$) является пассивной, если все входные/выходные траектории $$y(t)=$$Gu (t) удовлетворяют:

где $${}^{\mathrm{yT}}(t$$) обозначает транспонирование $$y($$t). Для физических систем интеграл обычно представляет энергию, поступающую в систему,. Таким образом, пассивные системы представляют собой системы, которые потребляют или рассеивают только энергию. В результате пассивные системы по своей природе стабильны.

В частотной области пассивность эквивалентна «положительному реальному» условию:

Для систем SISO это говорит, что $$\mathrm{Re}(G(j\lambda )\mathrm{)}$$ > 0 на всех частотах, поэтому весь график Найквиста лежит в правой половине плоскости.

nyquist(tf([1 3 5],[5 6 1]))

Найквистский сюжет пассивной системы

Пассивные системы имеют следующие важные свойства для целей управления:

Поэтому при управлении пассивной системой с неизвестными или переменными характеристиками желательно использовать пассивный закон обратной связи, чтобы гарантировать стабильность по замкнутому контуру. Эта задача может быть затруднена с учетом того, что задержки и значительное отставание фазы разрушают пассивность.

Индексы направленной пассивности

Для стабильности знание того, пассивна система или нет, не рассказывает полной истории. Часто желательно знать, насколько она пассивна или не является пассивной. Кроме того, дефицит пассивности в установке может быть компенсирован избытком пассивности в контроллере, и наоборот. Поэтому важно измерить превышение или дефицит пассивности, и именно здесь вступают в действие индексы пассивности.

Существуют различные типы индексов с различными приложениями. Один класс индексов измеряет превышение или недостаток пассивности в конкретном направлении пространства ввода/вывода. Например, индекс пассивности на входе определяется как самый большой, $$$$так что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu$$ (t) $$\mathrm{и}$$T > 0. Система G является строго пассивным входом (ISP)$$\mathrm{}$$, когда у ν> 0, и есть нехватка пассивности $$\mathrm{}$$когда ν <0. Индекс пассивности на входе также называется индексом пассивности на входе (IFP), поскольку он соответствует минимальному статическому действию на входе, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

В частотной области индекс входной пассивности характеризуется:

где $${}_{\mathrm{\lambda \; мин}}$$ обозначает наименьшее собственное значение. В случае SISO $$\nu$$ - абсцисса крайнего левого пункта на кривой Найквиста.

Аналогичным образом, индекс пассивности на выходе определяется как наибольший, $$\mathrm{такой}$$, что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu$$ (t) $$\mathrm{и}$$T > 0. Система G является строго пассивной (OSP), $$\mathrm{}$$когда start> 0, и имеет недостаток $$пассивности,\mathrm{}$$когда start< 0. Индекс пассивности выходного сигнала также называется индексом пассивности выходной обратной связи (OFP), поскольку он соответствует минимальному статическому действию обратной связи, необходимому для того, чтобы сделать систему пассивной.

В частотной области выходной индекс пассивности минимально-фазовой системы $$G(s$$) задается следующим образом:

В случае «SISO» («$$\mathrm{SISO}$$») - абсцисса крайней левой точки на кривой Найквиста $${}^{\mathrm{G-1}}(ей$$).

Объединение этих двух понятий приводит к индексу пассивности I/O, который является наибольшим, $$\mathrm{поскольку}$$:

Очень $$\mathrm{}$$строго пассивна система, в которой, по-видимому, «start> 0». В более общем случае, мы можем определить индекс в направлении $$$$δQ как наибольший, $$$$так что:

Все входные, выходные и выходные индексы пассивности ввода/вывода соответствуют специальному выбору $$\mathrm{\delta Q}$$ и в совокупности называются индексами пассивности направления. Вы можете использовать getPassiveIndex для вычисления любого из этих индексов для линейных систем в параметрической или FRD форме. Также можно использовать passiveplot для построения графика индексов пассивности ввода, вывода или ввода-вывода в зависимости от частоты. Этот график дает представление о том, какие полосы частот имеют более слабую или более сильную пассивность.

Существует много результатов количественной оценки того, как индексы пассивности ввода и вывода распространяются через параллельные, последовательные или обратные связи. Существуют также результаты количественной оценки избытка пассивности ввода или вывода, необходимого для компенсации данной нехватки пассивности в контуре обратной связи. Для получения более подробной информации см.:

Индекс относительной пассивности

Положительное реальное условие пассивности:

эквивалентно условию малого усиления:

Поэтому мы можем использовать пиковое усиление $$(\mathrm{I-G})(I{+}^{\mathrm{G}}$$) -1 в качестве меры пассивности. В частности, пусть

Тогда $$G$$ является пассивным тогда и только тогда, когда $$R\mathrm{<}$$1, $$а\mathrm{R}$$ > 1 указывает на недостаток пассивности. Обратите внимание, $$$$что R является конечным тогда и только $$\mathrm{тогда,\; когда}$$ I + G является минимальной фазой. Мы $$$$называем R индексом относительной пассивности, или R-индексом. Во временной области R-индекс является $$\mathrm{}$$наименьшим r > 0, таким образом, что:

для всех траекторий $$y(t)=Gu$$ (t) $$\mathrm{и}$$T > 0. $$$$Если I + G является минимальной фазой, можно использоватьpassiveplot для построения графика основных коэффициентов усиления $$(\mathrm{I-G}(j\lambda ))(I+G{}^{(\mathrm{}}$$jλ)) -1. Этот график полностью аналогичен графику с сингулярным значением (см.sigma) и показывает, как степень пассивности изменяется с частотой и направлением.

Следующий результат аналогичен теореме малого усиления для петель обратной связи. Он даёт простое условие по R-индексам для компенсации дефицита пассивности в одной системе избытком пассивности в другой.

Теорема малого R: Пусть $${}_{\mathrm{G1}}(ы$$) и $${}_{\mathrm{}}G2($$ы) - две линейные системы с R-индексами пассивности $${}_{\mathrm{}}$$R1 $${и}_{\mathrm{}}$$R2 соответственно. $${\mathrm{Если}}_{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}\mathrm{R1R2}$$< 1, то отрицательная обратная связь $${}_{\mathrm{}}$$G1 $${}_{\mathrm{}}$$и G2 стабильна.