Конические секторы

В простейшем виде коническим сектором является 2-D область, ограниченная двумя линиями, $$y=$$au $$иy$$= bu.

Затененная область характеризуется неравенством $$(\mathrm{y-au})(y-bu)\mathrm{}$$< 0. В более общем случае любой такой сектор может быть параметризован как:

где $$Q$$ является 2x2 симметричной неопределенной матрицей ($$Q$$ имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение). Мы называем $$Q$$ секторной матрицей. Эта концепция обобщает более высокие размеры. В N-мерном пространстве конический сектор представляет собой множество:

где $$Q$$ снова является симметричной неопределенной матрицей.

Границы секторов

Секторные границы - это ограничения на поведение системы. Ограничения усиления и ограничения пассивности являются особыми случаями границ секторов. Если для всех ненулевых входных траекторий $$u(t$$), выходная траектория $$z(t)=(Hu$$) (t) линейной $$системы$$ H (s) удовлетворяет:

тогда выходные траектории $$Н$$ лежат в коническом секторе с матрицей $$$$Q. Выбор различных $$\mathrm{Q-матриц}$$ накладывает различные условия на отклик системы. Например, рассмотрим траектории $$y(t)=(\mathrm{Gu})$$ (t) и следующие значения:

Эти значения соответствуют границам сектора:

Эта граница сектора эквивалентна условию пассивности для $$G(s$$):

Другими словами, пассивность - это конкретный сектор, связанный системой, определяемой следующим образом:

Условие частотной области

Поскольку условие временной области должно поддерживаться для всех $$T\mathrm{>}$$0, получение эквивалентной границы частотной области требует небольшой осторожности и не всегда возможно. Позвольте следующее :

быть (любым) разложением неопределенной матрицы $$Q$$ на ее положительную и отрицательную части. Когда $${}_{\mathrm{}}^{}\mathrm{W2TH\; (}$$ы) является квадратной и минимальной фазой (не имеет нестабильных нулей), условие временной области:

эквивалентно состоянию частотной области:

Поэтому достаточно проверить неравенство секторов на реальные частоты. Используя разложение $$Q$$, это также эквивалентно:

Следует отметить, что $${}_{\mathrm{}}^{}\mathrm{W2TH}$$ является квадратным, когда $$Q$$ имеет столько же отрицательных собственных значений, сколько входных каналов в $$H(s$$). Если это условие не выполняется, уже недостаточно (вообще) просто посмотреть на реальные частоты. Следует также отметить, что если $${}_{\mathrm{}}^{}W2TH($$ы) является квадратным, то он должен быть минимальной фазой для сектора, который должен удерживаться.

Эта характеристика частотной области является основой для sectorplot. В частности, sectorplot строит график сингулярных значений ($${}_{\mathrm{}}^{\mathrm{W1TH}}(\mathrm{джом})){(}_{\mathrm{}}^{}W2TH({джом}^{)\mathrm{)}}$$ -1 как функции частоты. Граница сектора удовлетворяется тогда и только тогда, когда наибольшее сингулярное значение остается ниже 1. Кроме того, график содержит полезную информацию о полосах частот, где соблюдается или нарушается граница сектора, и степени, в которой она удовлетворяется или нарушается.

Например, рассмотрим график сектора системы с 2 выходами и 2 входами для конкретного сектора.

rng(4,'twister');
H = rss(3,4,2); 
Q = [-5.12   2.16  -2.04   2.17
      2.16  -1.22  -0.28  -1.11
     -2.04  -0.28  -3.35   0.00
      2.17  -1.11   0.00   0.18];
sectorplot(H,Q)

На графике показано, что наибольшее сингулярное значение $$({}_{\mathrm{}}^{}\mathrm{W1TH}(j\lambda )){}_{\mathrm{(}}^{}\mathrm{W2TH}({}^{j\lambda \mathrm{)}}$$) -1 превышает 1 ниже примерно 0,5 рад/с и в узкой полосе вокруг 3 рад/с. ПоэтомуH не удовлетворяет ограничению сектора, представленному Q.

Индекс относительного сектора

Мы можем распространить понятие индекса относительной пассивности на произвольные секторы. Пусть $$H(s$$) - система LTI, и пусть:

быть ортогональным разложением $$Q$$ на его положительную и отрицательную части, как легко получается из разложения Шура $$$$Q. Относительный индекс сектора $$R$$, или R-индекс, определяется как наименьший $$r\mathrm{>}$$ 0, так что для всех выходных $$\mathrm{траекторий}z(t)=($$Hu) (t):

Поскольку увеличение $$r$$ делает $${}_{\mathrm{}}^{}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}^{}{}_{\mathrm{W1TW1-r2W2TW2}}$$ более отрицательным, неравенство обычно удовлетворяется для $$r$$ достаточно большим. Однако существуют случаи, когда он никогда не может быть удовлетворен, и в этом случае R-индекс является $$R=+\infty$$. Очевидно, что первоначальный сектор будет удовлетворен, если и только $$\mathrm{R\le 1}$$.

Чтобы понять геометрическую интерпретацию R-индекса, рассмотрим семейство конусов с матрицей $$Q(r){}_{\mathrm{=}}^{}{}_{\mathrm{}}{}^{\mathrm{}}{}_{\mathrm{}}^{}{}_{\mathrm{}}$$W1TW1-r2W2TW2. В 2D, $$\mathrm{угол\; наклона\; конуса}$$λ соотносится $$с$$ r на

(см. схему ниже). Таким $$\mathrm{}$$$$$$образом, учитывая конический сектор с матрицей $$$$Q, значение R-индекса $$R\mathrm{}$$< 1 означает, что мы можем $$\mathrm{уменьшить}tan$$ (start) (сузить конус) на $$$$коэффициент R, прежде чем некоторая выходная траектория $$$$H покинет конический сектор. Точно так же, $$\mathrm{значение}$$ R > 1 означает, что мы должны $$\mathrm{}\mathrm{увеличить}$$tan (start) (расширить конус) на $$$$коэффициент R, чтобы включить все выходные $$$$траектории Н. Это ясно делает R-индекс относительной мерой того, насколько хорошо $$$$отклик Н вписывается в конкретный конический сектор.

На схеме

и

Когда $${}_{\mathrm{}}^{}\mathrm{W2TH}(ы$$) является квадратной и минимальной фазой, R-индекс также может быть охарактеризован в частотной области как наименьший $$r\mathrm{}$$> 0, так что:

Используя элементарную алгебру, это приводит к:

Другими словами, R-индекс является пиковым усилением (стабильной) передаточной функции (s): $$={}_{\mathrm{(}}^{}\mathrm{W1TH}(s{)}_{\mathrm{)}}^{}({W2TH}^{\mathrm{(}}$$s)) -1, и сингулярные $$значения\; ($$jw) могут рассматриваться как «основные» R-индексы на каждой частоте. Это также объясняет, почему график зависимости R-индекса от частоты выглядит как график сингулярного значения (см.sectorplot). Существует полная аналогия между относительным индексом сектора и системным усилением. Однако следует отметить, что эта аналогия сохраняется только тогда, когда $${}_{\mathrm{}}^{\mathrm{W2TH}}(ы)$$ является квадратной и минимальной фазой.

Индекс направленного сектора

Аналогично, мы можем распространить понятие индекса направленной пассивности на произвольные секторы. Учитывая конический сектор с матрицей $$Q$$и направлением $$\mathrm{\delta Q}$$, индекс направленного сектора является наибольшим, $$$$так что для всех выходных траекторий $$z(t)=(\mathrm{Hu})$$(t):

Индекс направленной пассивности для системы $$G(систем$$) соответствует :

Индекс направленного сектора измеряет, насколько мы должны деформировать сектор в направлении $$\mathrm{\delta Q}$$, чтобы он плотно вписывался вокруг выходных траекторий $$$$Н. Граница сектора удовлетворяется тогда и только тогда, когда индекс направления является положительным.

Общие секторы

Существует множество способов определения границ секторов. Затем мы рассмотрим часто встречающиеся выражения и дадим соответствующую систему H $$$$и матрицу сектора Q $$$$для стандартной формы, используемой getSectorIndex и sectorplot:

Для простоты эти описания используют нотацию:

и опустить $$\mathrm{\forall T>0}$$ требование.

Пассивность

Пассивность - это сектор, связанный с:

Ограничение усиления

Ограничение усиления $${\Vert }_{}$$G‖∞<γ является сектором, связанным с :

Соотношение расстояний

Рассмотрим «внутреннее» ограничение,

где $$c,$$r - скаляры и $$y(t)=(Gu$$) (t). Этот сектор связан с:

Нижележащий конический сектор симметричен относительно $$y=$$cu. Аналогично, «внешнее» ограничение,

является сектором, связанным с:

Двойное неравенство

При работе со статическими нелинейностями принято учитывать конические секторы вида

где $$y\mathrm{=\; (}\mathrm{u)}$$- выход нелинейности. Хотя эта взаимосвязь сама по себе не связана с сектором, она ясно подразумевает:

вдоль всех траекторий ввода-вывода и для всех $$T\mathrm{>}$$0. Это условие, в свою очередь, эквивалентно сектору, связанному с:

Форма продукта

Обобщённые секторные границы вида:

соответствуют:

Как и прежде, статический сектор связан:

подразумевает интегральный сектор, связанный выше.

Диссипативный QSR

Система $$y=$$Gu является QSR-диссипативной, если она удовлетворяет:

Этот сектор связан с: