Кубический сглаживающий сплайн
Примечание
Для более простого, но менее гибкого метода создания сглаживающих сплайнов воспользуйтесь приложением «Фитинг кривой» или fit функция.
pp = csaps(x,y)(x,y) в ppform. Значение сплайна f на площадке данных x(j) аппроксимирует значение данных y(:,j) для j = 1:length(x).
Сглаживающий сплайн f минимизирует
мера
Здесь n - количество записей x и интеграл находится в наименьшем интервале, содержащем все записи x. yj и xj относятся к j-м позициям y и xсоответственно. D2f обозначает вторую производную функции f.
Значения по умолчанию для весов измерения ошибки wj равны 1. Значением по умолчанию для кусочно-постоянной весовой функции λ в измерении шероховатости является постоянная функция 1. По умолчанию csaps выбирает значение параметра сглаживания p на основе заданных узлов данных x.
Чтобы вычислить сглаживающий сплайн за пределами его базового интервала, необходимо сначала экстраполировать его. Используйте команду pp = fnxtr(pp) для обеспечения нулевого значения второй производной за пределами интервала, охватываемого узлами данных.
[___] = csaps({x1,...,xm}, предоставляет ppform y,___)m-переменный шлиц сглаживания тензора-произведения для данных прямоугольной сетки, описанной {x1,...,xm}. Этот синтаксис можно использовать с любым из аргументов в предыдущих синтаксисах.
Подгонка сглаживающих сплайнов с помощью csaps функция с различными значениями для параметра сглаживания p. Использовать значения p между крайними значениями 0 и 1, чтобы увидеть, как они влияют на форму и близость установленного сплайна.
Загрузите набор титановых данных.
[x, y] = titanium();
Когда p = 0, s0 является прямой линией наименьших квадратов, соответствующей данным. Когда p = 1, s1 является вариационным, или естественным, кубическим сплайновым интерполятором.
Для 0 < p < 1, sp является сглаживающим сплайном, который является компромиссом между двумя крайними значениями: более гладким, чем интерполятор s1 и ближе к данным, чем прямая линия s0.
p = 0.00009; s0 = csaps(x,y,0); sp = csaps(x,y,p); s1 = csaps(x,y,1);
figure fnplt(s0); hold on fnplt(sp); fnplt(s1); plot(x,y,'ko'); hold off title('Smoothing splines with different values for p'); legend('p = 0', ['p = ' num2str( p )], 'p = 1', 'Location', 'northwest')
Настройте параметр сглаживания, веса измерения ошибок и веса измерения шероховатости.
Создайте синусоидальную кривую с шумом.
x = linspace(0,2*pi,21); y = sin(x)+(rand(1,21)-.5)*.3;
Поместите сглаживающий сплайн в данные. Укажите параметр сглаживания p = 0.4 и веса измерения ошибок w которые различаются по данным.
pp = csaps(x,y,0.4,[],[ones(1,10),repmat(5,1,10), 0]);
Функция возвращает плавную подгонку к шумным данным, которые намного ближе к данным в правой половине из-за гораздо большего веса измерения ошибок. Обратите внимание, что нулевой вес ошибки для последней точки данных исключает эту точку из аппроксимации.
Теперь поместите сглаживающий сплайн с использованием тех же данных, параметра сглаживания и весов измерения ошибок, но с скорректированными весами измерения шероховатости.
pp1 = csaps(x,y, [.4,ones(1,10),repmat(.2,1,10)], [], ...
[ones(1,10), repmat(5,1,10), 0]);Вес измерения шероховатости составляет всего 0,2 в правой половине интервала. Соответственно, посадка грубее, но ближе с правой стороны данных (за исключением последней точки данных, которая игнорируется).
Постройте график для сравнения.
figure hold on fnplt(pp, 'b'); fnplt(pp1,'r--') plot(x,y,'ok') hold off ylim([-1.5 1.5]) title(['Cubic smoothing spline, with right half treated ',... 'differently']) legend('Larger error weight', 'Larger error and smaller roughness weight')
Подгонка сглаживающего сплайна для двумерных данных, генерируемых peaks функция с добавленным равномерным шумом. Использовать csaps для получения новых сглаженных точек данных и параметров сглаживания csaps определяет для посадки.
Создайте сетку. В этом примере сетка представляет собой однородную сетку 51 на 61.
x = {linspace(-2,3,51),linspace(-3,3,61)};
[xx,yy] = ndgrid(x{1},x{2}); Создайте шумные данные с помощью peaks функция и случайные числа в интервале ].
y = peaks(xx, yy);
noisy = y + (rand(size(y)) - 0.5);
figure
surf(xx,yy,noisy)
axis off
Подгоните данные. Использовать csaps для получения сглаженных значений данных, вычисленных по сетке x и параметр сглаживания по умолчанию, используемый в подгонке.
[sval,p] = csaps(x,noisy,[],x);
На графике посадки видно, что некоторые шероховатости остаются. Обратите внимание, что необходимо транспонировать массив sval.
figure
surf(x{1},x{2},sval.')
axis off
Для несколько более гладкого приближения задайте значение для p немного меньше, чем csaps значение по умолчанию.
ssval = csaps(x,noisy,.996,x);
figure
surf(x{1},x{2},ssval.')
axis off
csaps является реализацией подпрограммы Fortran SMOOTH от PGS.
Вычисление сглаживающего сплайна требует решения линейной системы, матрица коэффициентов которой имеет вид p*A + (1-p)*B, с матрицами A и B в зависимости от сайтов данных x. Значение по умолчанию p делает p*trace(A) равный (1-p)*trace(B).