Дифференцировать функцию
fprime = fnder(f,dorder)dorder-я производная функции в f. Значение по умолчанию dorder равно 1. Для отрицательного dorder, конкретный |dorder| -й неопределенный интеграл возвращается, который исчезает |dorder| - в левой конечной точке базового интервала.
Выходные данные имеют ту же форму, что и входные данные, они являются либо обоими ppforms, либо обеими B-формами, либо обеими stforms.
Если функция в f m-variate, затем dorder должен быть задан и должен иметь длину m.
Также:
Если f находится в ppform, или в B-форме с его последним узлом достаточно высокой кратности, то, вплоть до ошибок округления, f и fnder(fnint(f)) одинаковые.
Если f в ppform и fa - значение функции в f в левом конце его базового интервала, то, вплоть до ошибок округления, f и fnint(fnder(f),fa) являются одинаковыми, если только функция, описанная f имеет разрывы скачков.
Если f содержит B-форму f, а t1 является ее самым левым узлом, то, вплоть до ошибок округления, fnint(fnder(f)) содержит B-форму f-f (t1). Однако его крайний левый узел потеряет одну кратность (если он имел кратность > 1 для начала). Кроме того, его самый правый узел будет иметь полную кратность, даже если самый правый узел для В-формы f вf не. Чтобы проверить это, создайте сплайн, sp = spmak([0 0 1], 1). Этот сплайн находится на своем базовом интервале [0..1], прямая линия, которая равна 1 при 0 и 0 при 1. Теперь интегрируйте его производную: spdi = fnint(fnder(sp)). Сплайн в spdi имеет тот же базовый интервал, но на этом интервале он согласуется с прямой линией, которая равна 0 при 0 и -1 при 1.
fnder(f) является таким же, как fnder(f,1).
В этом примере показано, как вычислить функции производной первого и второго порядка для трех B-сплайнов порядка 2, 3 и 4. Затем он строит график сплайнов и их производных и сравнивает результаты.
% Create the knots sequences t1 = [0 .8 2]; t2 = [3 4.4 5 6]; t3 = [7 7.9 9.2 10 11]; tt = [t1 t2 t3]; % Accessory variables and commands for plotting purposes cl = ['g','r','b','k','k']; v = 5.4; d1 = 2.5; d2 = 0; s1 = 1; s2 = .5; ext = tt([1 end])+[-.5 .5]; plot(ext([1 2]),[v v],cl(5)) hold on plot(ext([1 2]),[d1 d1],cl(5)) plot(ext([1 2]),[d2 d2],cl(5)) ts = [tt;tt;NaN(size(tt))]; ty = repmat(.2*[-1;0;NaN],size(tt)); plot(ts(:),ty(:)+v,cl(5)) plot(ts(:),ty(:)+d1,cl(5)) plot(ts(:),ty(:)+d2,cl(5)) % Spline 1 (linear) b1 = spmak(t1,1); p1 = [t1;0 1 0]; % Calculate the first and second derivative of spline 1 db1 = fnder(b1); p11 = fnplt(db1,'j'); p12 = fnplt(fnder(db1)); lw = 2; plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(2),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(2),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(2),'LineWidth',lw) % Spline 2 (quadratic) b1 = spmak(t2,1); p1 = fnplt(b1); % Calculate the first and second derivative of spline 2 db1 = fnder(b1); p11 = [t2;fnval(db1,t2)]; p12 = fnplt(fnder(db1),'j'); plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(3),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(3),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(3),'LineWidth',lw) % Spline 3 (cubic) b1 = spmak(t3,1); p1 = fnplt(b1); % Calculate the first and second derivative of spline 3 db1 = fnder(b1); p11 = fnplt(db1); p12=[t3;fnval(fnder(db1),t3)]; plot(p1(1,:),p1(2,:)+v,cl(4),'LineWidth',lw) plot(p11(1,:),s1*p11(2,:)+d1,cl(4),'LineWidth',lw) plot(p12(1,:),s2*p12(2,:)+d2,cl(4),'LineWidth',lw) % Formatting the plot tey = v+1.5; text(t1(2)-.5,tey,'linear','FontSize',12,'Color',cl(2)) text(t2(2)-.8,tey,'quadratic','FontSize',12,'Color',cl(3)) text(t3(3)-.5,tey,'cubic','FontSize',12,'Color',cl(4)) text(-2,v,'B','FontSize',12) text(-2,d1,'DB','FontSize',12) text(-2,d2,'D^2B') axis([-1 12 -2 7.5]) title({'B-splines with Simple Knots and Their Derivatives'}) axis off hold off
fnder функция не работает с рациональными сплайнами. Для работы с рациональными сплайнами используйте fntlr вместо этого функция.
fnder функция работает для stforms только ограниченным образом: если тип tp00, то dorder может быть [1,0] или [0,1].
Для дифференциации любой полиномиальной формы, fnder функция находит производные в кусочно-полиномиальном смысле. Функция дифференцирует каждую часть полинома отдельно и игнорирует разрывы перехода между частями полинома во время дифференциации.
Для B-формы функция использует [PGS; (X.10)] формулы для дифференциации.
Для stform дифференциация опирается на знание формулы для релевантной производной базисной функции конкретного типа.