Загрузка и проверка данных

Загрузить набор макроэкономических данных США.

load Data_USEconModel

Временные ряды в наборе данных содержат квартальные макроэкономические измерения с 1947 по 2009 год. Для получения дополнительных сведений, списка переменных и описаний введите Description в командной строке.

Извлеките предикторы и ответ из таблицы. Фокус выборки на наблюдениях, взятых в 1960-2009 годах.

idx = year(DataTable.Time) >= 1960; 
dates = DataTable.Time(idx);
y = DataTable.GDP(idx);
X = DataTable{idx,{'CPIAUCSL' 'COE'}};
varNames = {'CPIAUCSL' 'COE' 'GDP'};

Определение индексов горизонта прогноза.

fHIdx = year(dates) >= 2007;

Постройте график всех серий по отдельности. Определение периодов рецессии.

figure;
subplot(2,2,1);
plot(dates,y)
title(varNames{end});
xlabel('Year');
axis tight;
datetick;
recessionplot;
for j = 1:size(X,2)
    subplot(2,2,j + 1);
    plot(dates,X(:,j))
    title(varNames{j});
    xlabel('Year');
    axis tight;
    datetick;
    recessionplot;
end

Все переменные растут экспоненциально. Также вокруг последней рецессии появляется спад. Предположим, что модель линейной регрессии ВВП на ИПЦ и ИПЦ является подходящей, и вы хотите проверить, произошло ли структурное изменение в модели в 2007 году.

Проверить допущения испытаний Chow

Тесты Chow основаны на:

Если модель нарушает эти предположения, то результат теста Chow может быть неверным, или тест Chow может не иметь мощности. Выясните, сохраняются ли предположения. Если таковые отсутствуют, выполните предварительную обработку данных.

Поместите линейную модель во весь ряд. Включить перехват.

Mdl = fitlm(X,y);

Mdl является LinearModel объект модели.

Извлеките остатки из расчетной линейной модели. Нарисуйте два графика гистограммы с использованием остатков: один по отношению к установленным значениям в порядке обращения, а другой по отношению к предыдущему остатку.

res = Mdl.Residuals.Raw;
figure;
plotResiduals(Mdl,'lagged');

figure;
plotResiduals(Mdl,'caseorder');

Поскольку график рассеяния остаточного и запаздывающего остатков образует тенденцию, автокорреляция существует в остатках. Кроме того, остатки на крайностях, по-видимому, вспыхивают, что предполагает наличие гетероскедастичности.

Проведите тест Engle ARCH на уровне значимости 5%, чтобы оценить, являются ли нововведения гетероскедастическими.

[hARCH,pValueARCH] = archtest(res)

hARCH = logical
   1

pValueARCH = 0

hARCH = 1 предлагает отвергнуть нулевую гипотезу, что весь остаточный ряд не имеет условной гетероскедастичности.

Примените логарифмическое преобразование ко всем рядам, которые растут экспоненциально, чтобы уменьшить влияние гетероскедастичности.

y = log(y);
X = log(X);

Чтобы учесть автокорреляцию, создайте переменные предиктора для всех экспоненциальных рядов, отставая их на один период.

LagMat = lagmatrix([X y],1);
X = [X(2:end,:)  LagMat(2:end,:)]; % Concatenate data and remove first row
fHIdx = fHIdx(2:end);
y = y(2:end);

На основе остаточной диагностики выберите эту линейную модель для ВВП.

$${}_{\mathrm{\delta \; t}}$$ должен быть гауссовой серией нововведений со средним нулем и постоянной дисперсией $${}^{\mathrm{start2}}$$.

Снова диагностируйте остатки.

Mdl = fitlm(X,y);

res = Mdl.Residuals.Raw;
figure;
plotResiduals(Mdl,'lagged');

figure;
plotResiduals(Mdl,'caseorder');

[hARCH,pValueARCH] = archtest(res)

hARCH = logical
   0

pValueARCH = 0.2813

SubMdl = {fitlm(X(~fHIdx,:),y(~fHIdx)) fitlm(X(fHIdx,:),y(fHIdx))};
subRes = {SubMdl{1}.Residuals.Raw SubMdl{2}.Residuals.Raw};
[hVT2,pValueVT2] = vartest2(subRes{1},subRes{2})

hVT2 = 0

pValueVT2 = 0.1645

Остаточные графики и тесты показывают, что нововведения являются гомоскедастическими и некоррелированными.

Проведите тест Колмогорова-Смирнова, чтобы оценить, являются ли нововведения гауссовскими.

[hKS,pValueKS] = kstest(res/std(res))

hKS = logical
   0

pValueKS = 0.2347

hKS = 0 предлагает не отвергать нулевую гипотезу о том, что нововведения являются гауссовыми.

Для модели распределенного запаздывания допустимы допущения теста Chow.

Проведение теста Chow

Рассматривая 2007 год и последующий период как пострецессионный режим, проверьте, является ли линейная модель стабильной. Укажите, что точка разрыва находится в последнем квартале 2006 года. Поскольку размер комплементарной субпассы больше, чем количество коэффициентов, проведите проверку точки разрыва.

bp = find(~fHIdx,1,'last');
chowtest(X,y,bp,'Display','summary');

RESULTS SUMMARY

***************
Test 1

Sample size: 196
Breakpoint: 187

Test type: breakpoint
Coefficients tested: All

Statistic: 1.3741
Critical value: 2.1481

P value: 0.2272
Significance level: 0.0500

Decision: Fail to reject coefficient stability

Тест не отклоняет стабильность линейной модели. Доказательства неэффективны для вывода структурных изменений между Q4-2006 и Q1-2007.