Цель анализа временных рядов заключается в подготовке прогнозов для ответов на будущие временные горизонты. То есть можно генерировать прогнозы для yT + 1,yT + 2,...,yT + h, учитывая следующее:
Наблюдаемая серия y1, y2,...,yT
Горизонт прогноза h
Нестохастические предикторы x1,x2,...,xT,...,xT + h, где xk - r-вектор, содержащий измерения r предикторов, наблюдаемые в момент k
Регрессионная модель с ошибками ARIMA
где H (L) и N (L) являются составными авторегрессионными многочленами оператора задержки скользящего среднего (возможно, содержащими интегрирование) соответственно.
Пусть + 1 обозначает прогноз для процесса в момент времени t + 1, обусловленный историей процесса до времени t (Ht), и предполагает, что предикторы фиксированы. Прогноз минимальной среднеквадратической ошибки (MMSE) - это ^ t + 1, который минимизирует ожидаемые квадратные потери,
+ 1 | Ht) 2.
Минимизация этой функции потерь дает прогноз MMSE,
+ 1 | Ht).
forecast создает прогнозы MMSE рекурсивно. При звонке forecast, необходимо указать regARIMA модель (Mdl) и горизонт прогноза. Можно также указать предварительные измерения (Y0), предикторы (X0), инновации (E0) и условные нарушения (U0) с использованием аргументов пары имя-значение.
Чтобы начать прогнозирование, начиная с момента времени T + 1, используйте последние несколько наблюдений yt и Xt в качестве предварительных ответов и предикторов для инициализации прогноза. Кроме того, можно указать предварительные безусловные нарушения или нововведения.
Однако при указании данных предварительной выборки:
Если вы предоставляете данные предиктора предварительной выборки (X0), то вы также должны предоставить прогнозы предиктора (XF). Рекомендуется устанавливать X0 в ту же матрицу предиктора, которая оценивает параметры. Если вы не предоставите препробу и будущие предикторы, то forecast игнорирует компонент регрессии в модели.
Если процесс ошибки в Mdl содержит сезонный или несезонный авторегрессионный компонент или сезонную или несезонную интеграцию, затем forecast для инициализации прогноза требуется не менее P предварительных безусловных возмущений. Собственность P из Mdl магазины П.
Если процесс ошибки в Mdl содержит сезонный или несезонный компонент скользящего среднего, затем forecast для инициализации прогноза требуется не менее Q предварительных изменений. Собственность Q из Mdl сохраняет Q.
Если вы предоставляете достаточное количество предварительных безусловных нарушений, то forecast игнорирует Y0 и X0. Если вы также не предоставляете E0, но обеспечить достаточное количество предварительных безусловных нарушений, то forecast выводит требуемое количество инноваций предварительной выборки из модели ошибок ARIMA и U0.
Если вы предоставляете достаточное количество предварительных ответов и предикторов (и не предоставляете U0), то forecast использует регрессионную модель для вывода предварительных безусловных возмущений.
Если вы не предоставляете предварительные наблюдения, то forecast устанавливает необходимое количество предварительных безусловных возмущений и нововведений в 0.
Если предоставлено недостаточное количество предварительных наблюдений, то forecast возвращает ошибку.
Рассмотрите возможность создания прогнозов из регрессионной модели с ошибками ARMA (3,2):
b2L2) αtora (L) ut = b (L) αt,
где a (L) и B (L) - многочлены оператора запаздывания. Наибольшее отставание AR - 3, наибольшее отставание MA - 2. Эта модель не содержит сезонных задержек и интеграции. Следовательно, P = 3 и Q = 2. Чтобы спрогнозировать эту модель, необходимо три ответа и предиктора предварительной выборки или три безусловных нарушения предварительной выборки и два нововведения предварительной выборки.
Учитывая предпробные безусловные возмущения , uT), − 1, αT) и будущие , XT + 2,...), прогнозировать модель можно следующим образом:
1y ^ T + 1 = c + XT + 1β + u ^ T + 1.
^ T + 2 = c + XT + 2β + u ^ T + 2.
^ T + 3 = c + XT + 3β + u ^ T + 3.
...
Обратите внимание, что:
Будущие инновации приобретают свое безусловное среднее значение, 0.
Для стационарных процессов ошибок, таких как:
Прогнозируемые безусловные возмущения сходятся к их безусловному среднему значению,
(αt) = 0.
c + Xtβ регулирует долгосрочное поведение прогнозируемых ответов.
Ошибка прогноза для прогноза с опережающим шагом регрессионной модели с ошибками ARIMA составляет
+ s − u ^ T + s 'HT + s − 1
где dividend (L) является многочленом оператора бесконечного запаздывания, а start2 - дисперсией нововведения.
Если процесс ошибки неподвижен, то коэффициенты (L) абсолютно суммируются. Поэтому MSE (среднеквадратическая ошибка) сходится к безусловной дисперсии процесса [1].
Если процесс ошибки не является стационарным, то MSE растет с увеличением s.
[1] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.