Создание полностью заданной модели для DGP

Создайте двухстатную дискретно-временную модель цепи Маркова для механизма переключения.

P = [0.9 0.1; 0.2 0.8];
mc = dtmc(P);

mc является полностью указанным dtmc объект.

Для каждого состояния создайте модель AR (0) (только константа) для процесса ответа. Сохраните модели в векторе.

mdl1 = arima('Constant',2,'Variance',3);
mdl2 = arima('Constant',-2,'Variance',1);
mdl = [mdl1; mdl2];

mdl1 и mdl2 полностью указаны arima объекты.

Создание модели динамической регрессии с коммутацией Маркова из механизма коммутации mc и вектор подмоделей mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью указанным msVAR объект.

Моделирование данных из DGP

filter требует ответов для вычисления вероятности отфильтрованного состояния. Генерируют один случайный отклик и путь состояния, оба длиной 30, из DGP.

rng(1000); % For reproducibility
[y,~,sp] = simulate(Mdl,30);

Вероятности вычисленного состояния

Вычислите вероятности отфильтрованного и сглаженного состояния из модели переключения Маркова, учитывая данные смоделированного ответа.

fs = filter(Mdl,y);
ss = smooth(Mdl,y);

fs и ss представляют собой матрицы 30 на 2 вероятности отфильтрованного и сглаженного состояния соответственно для каждого периода в горизонте моделирования. Хотя вероятность отфильтрованного состояния в момент времени t (fs(t,:)) основаны на данных ответа в течение времени t (y(1:t)), сглаженные вероятности состояния в момент времени t (ss(t,:)) основаны на всех наблюдениях.

Постройте график моделируемого пути состояния и вероятности отфильтрованного и сглаженного состояния на одном и том же графике.

figure
plot(sp,'m')
hold on
plot(fs(:,2),'r')
plot(ss(:,2),'g')
yticks([0 1 2])
xlabel("Time")
title("Observed States with Estimated State Probabilities")
legend({'Simulated states','Filtered probability: state 2',...
    'Smoothed probability: state 2'})
hold off

Создание модели динамической регрессии с коммутацией Маркова

Создайте полностью заданную дискретную модель цепи Маркова, описывающую механизм переключения режимов. Маркировать режимы.

P = [0.92 0.08; 0.26 0.74];
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);

Создайте отдельные, полностью определенные модели AR (0) для двух режимов .

sigma = 3.34; % Homoscedastic models across states
mdl1 = arima('Constant',4.62,'Variance',sigma^2);
mdl2 = arima('Constant',-0.48,'Variance',sigma^2);
mdl = [mdl1 mdl2];

Создание модели динамической регрессии с коммутацией Маркова из механизма коммутации mc и подмодели, зависящие от состояния mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью указанным msVAR объект.

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите набор данных ВВП США.

load Data_GDP

Data содержит квартальные измерения реального ВВП США в период 1947: Q1-2005: Q2. Период интереса в [1] - 1947:Q2-2004:Q2. Для получения дополнительной информации о наборе данных введитеDescription в командной строке.

Преобразуйте данные в годовой ряд скоростей, выполнив следующие действия:

qrate = diff(Data(2:230))./Data(2:229); % Quarterly rate
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);       % Annualized rate

Преобразование отбрасывает первое наблюдение.

Вероятности отфильтрованного состояния вычислений

Вычислить вероятности отфильтрованного состояния для данных и модели.

FS = filter(Mdl,arate);
FS(end,:)

ans = 1×2

    0.9396    0.0604

FS является матрицей вероятности отфильтрованного состояния 228 на 2. Строки соответствуют периодам в данных arate, и столбцы соответствуют режимам.

Постройте график отфильтрованных вероятностей рецессии, как показано на [1], рис. 6.

figure;
plot(dates(3:230),FS(:,2),'r')
datetick('x')
title('Current Filter Probabilities and NBER Recessions')
recessionplot

Вычислить вероятности сглаженного состояния

Вычислите сглаженные вероятности состояния, а затем постройте график сглаженных вероятностей рецессии, как показано на [1], рис. 6.

SS = smooth(Mdl,arate);

figure
plot(dates(3:230),SS(:,2),'r')
datetick('x')
recessionplot
title('Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions')

Создание полностью заданной модели для DGP

Создайте модель цепи Маркова с тремя состояниями дискретного времени для механизма переключения.

P = [5 1 1; 1 5 1; 1 1 5];
mc = dtmc(P);

mc является полностью указанным dtmc объект. dtmc нормализует строки P чтобы они суммировали 1.

Для каждого состояния создайте полностью заданную модель VARX (0) (только константа и матрица коэффициентов регрессии) для процесса отклика. Укажите различные векторы констант в моделях. Задайте один и тот же коэффициент регрессии для двух регрессоров и укажите одну и ту же ковариационную матрицу. Сохраните модели VARX в векторе.

% Constants
C1 = [1;-1];
C2 = [3;-3];
C3 = [5;-5];

% Regression coefficient
Beta = [0.2 0.1;0 -0.3];

% Covariance matrix
Sigma = [1.8 -0.4; -0.4 1.8];

% VARX submodels
mdl1 = varm('Constant',C1,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl2 = varm('Constant',C2,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);
mdl3 = varm('Constant',C3,'Beta',Beta,...
    'Covariance',Sigma);

mdl = [mdl1; mdl2; mdl3];

mdl содержит три полностью указанных varm объекты модели.

Для DGP создайте полностью заданную модель динамической регрессии с коммутацией Маркова из механизма коммутации mc и подмодели mdl.

Mdl = msVAR(mc,mdl);

Mdl является полностью указанным msVAR модель.

Моделирование данных из DGP

Моделирование данных для двух экзогенных рядов путем генерации 30 наблюдений из стандартного 2-D гауссова распределения.

rng(1) % For reproducibility
X = randn(30,2);

Генерируют один случайный отклик и путь состояния, оба длиной 30, из DGP. Укажите смоделированные экзогенные данные для компонентов регрессии подмодели.

[Y,~,SP] = simulate(Mdl,30,'X',X);

Y является матрицей 30 на 2 одного моделируемого пути отклика. SP является вектором 30 на 1 одного моделируемого тракта состояния.

Вероятности вычисленного состояния

Вычислить отфильтрованные и сглаженные вероятности состояния из DGP с учетом смоделированных данных ответа.

FS = filter(Mdl,Y,'X',X);
SS = smooth(Mdl,Y,'X',X);

FS и SS представляют собой матрицы 30 на 2 вероятности отфильтрованного и сглаженного состояния соответственно для каждого периода в горизонте моделирования.

Постройте график траектории моделируемого состояния и вероятности отфильтрованного и сглаженного состояния на вложенных графиках на том же рисунке.

figure
subplot(3,1,1)
plot(SP,'m')
yticks([1 2 3])
legend({'Simulated states'})
subplot(3,1,2)
plot(FS,'--')
legend({'Filtered s1','Filtered s2','Filtered s3'})
subplot(3,1,3)
plot(SS,'-')
legend({'Smoothed s1','Smoothed s2','Smoothed s3'})

Создание частично заданной модели для оценки

Создайте частично заданную модель динамической регрессии с коммутацией Маркова для оценки. Укажите подмодели AR (1).

P = NaN(2);
mc = dtmc(P,'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
mdl = arima(1,0,0);
Mdl = msVAR(mc,[mdl; mdl]);

Поскольку подмоделями являются AR (1), для каждой из них требуется одно предварительное наблюдение, чтобы инициализировать свой динамический компонент для оценки .

Создание полностью заданной модели, содержащей начальные значения

Создайте модель, содержащую начальные значения параметров для процедуры оценки.

mc0 = dtmc(0.5*ones(2),'StateNames',["Expansion" "Recession"]);
submdl01 = arima('Constant',1,'Variance',1,'AR',0.001);
submdl02 = arima('Constant',-1,'Variance',1,'AR',0.001);
Mdl0 = msVAR(mc0,[submdl01; submdl02]);

Загрузка и предварительная обработка данных

Загрузите данные. Преобразуйте весь набор в годовой ряд скоростей.

load Data_GDP
qrate = diff(Data)./Data(1:(end - 1)); 
arate = 100*((1 + qrate).^4 - 1);

Определите периоды предварительной выборки и оценки с использованием дат, связанных с серией годовых ставок. Поскольку при преобразовании применяется первая разница, необходимо удалить первую дату наблюдения из исходной выборки.

dates = datetime(dates(2:end),'ConvertFrom','datenum',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
estPrd = datetime(["1960:Q2" "2004:Q2"],'InputFormat','yyyy:QQQ',...
    'Format','yyyy:QQQ','Locale','en_US');
idxEst = isbetween(dates,estPrd(1),estPrd(2));
idxPre = dates < (estPrd(1)); 

Модель оценки

Подгонка модели к данным выборки оценки. Укажите предварительное измерение.

arate0 = arate(idxPre);
arateEst = arate(idxEst);
EstMdl = estimate(Mdl,Mdl0,arateEst,'Y0',arate0);

EstMdl является полностью указанным msVAR объект.

Вероятности вычисленного состояния

Вычисляют отфильтрованные и сглаженные вероятности состояния из оценочной модели и данных в периоде оценки. Укажите предварительное измерение. Постройте график предполагаемых вероятностей рецессии на субплотах на том же рисунке.

FS = filter(EstMdl,arateEst,'Y0',arate0);
SS = smooth(EstMdl,arateEst,'Y0',arate0);

figure;
subplot(2,1,1)
plot(dates(idxEst),FS(:,2),'r')
title("Current Filter Probabilities and NBER Recessions")
recessionplot
subplot(2,1,2)
plot(dates(idxEst),SS(:,2),'r')
title("Full-Sample Smoothed Probabilities and NBER Recessions")
recessionplot