Документация

ResponseY = irf(Mdl) возвращает IRF или динамический отклик каждой переменной измерения ResponseY полностью указанной модели состояния-пространства Mdl, например, оценочная модель.

ResponseY = irf(Mdl,Name,Value) использует дополнительные параметры, заданные одним или несколькими аргументами пары имя-значение. Например, 'NumPeriods',10,'Cumulative',true указывает 10-периодный совокупный IRF, начинающийся в момент времени 1, в течение которого irf применяет шок к переменной нарушения состояния в системе и заканчивается в периоде 10.

[ResponseY,ResponseX] = irf(___) также возвращает IRF каждой переменной состояния ResponseX, используя любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.

Частично указанная модель состояния-пространства и оценка доверительного интервала

[ResponseY,ResponseX] = irf(___,'Params',estParams) возвращает IRF всех переменных частично указанной модели state-space Mdl. estParams задает оценки всех неизвестных параметров в модели.

[ResponseY,ResponseX,LowerY,UpperY,LowerX,UpperX] = irf(___,'Params',estParams,'EstParamCov',EstParamCov) также возвращает для каждого периода нижнюю и верхнюю 95% доверительные границы Монте-Карло каждой измеряемой переменной IRF ([LowerY,UpperY]) и каждой переменной состояния IRF ([LowerX,UpperX]). EstParamCov определяет матрицу оцененной ковариации оценок параметров, возвращаемых estimate и требуется для оценки доверительного интервала.

Примеры

Вычислить переменную измерения IRF

Явное создание модели состояния-пространства

$\begin{array}{l} _{xt} = 0_{.} 5xt-1 +_{} \\ 0_{} ._{} 2utyt =_{} 2xt \end{array}$ + 0 .001εt.

A = 0.5;
B = 0.2;
C = 2;
D = 0.01;
Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + (0.20)u1(t)

Observation equation:
y1(t) = (2)x1(t) + (0.01)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1 
  0 

Initial state covariance matrix
     x1   
 x1  0.05 

State types
     x1     
 Stationary

Mdl является ssm объект модели. Поскольку все параметры имеют известные значения, объект полностью указан.

Вычислите IRF измеряемой переменной.

responseY = irf(Mdl)

responseY = 20×1

    0.4000
    0.2000
    0.1000
    0.0500
    0.0250
    0.0125
    0.0063
    0.0031
    0.0016
    0.0008
      ⋮

responseY является вектором 20 на 1, представляющим 20-периодную IRF измеряемой переменной $_{yt}$ . responseY(5) является 0.0250, что означает, что реакция $_{yt}$ в период 5, на единичный шок на нарушение состояния $_{ut}$ в период 1, составляет 0.0250.

Укажите количество периодов

Явное создание многомерной модели диффузного состояния и пространства

$\begin{array}{llllllllllllllllllll} _{x1,} t_{= x1,} t-1_{+ 0} \\ _{.} 2u1,_{tx2,} t =_{x1,} {t-1}_{+} \\ 0_{.} {3x2}_{,} {t-1}_{+} \\ _{u2,}_{ty1,} t_{=} x1,_{t} + \end{array}$ α1, ty2, t = x1, t + x2, t + α2, t.

A = [1 0; 1 0.3];
B = [0.2 0; 0 1];
C = [1 0; 1 1];
D = eye(2);
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',[2 2])

Mdl = 
State-space model type: dssm

State vector length: 2
Observation vector length: 2
State disturbance vector length: 2
Observation innovation vector length: 2
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equations:
x1(t) = x1(t-1) + (0.20)u1(t)
x2(t) = x1(t-1) + (0.30)x2(t-1) + u2(t)

Observation equations:
y1(t) = x1(t) + e1(t)
y2(t) = x1(t) + x2(t) + e2(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1  x2 
  0   0 

Initial state covariance matrix
     x1   x2  
 x1  Inf  0   
 x2  0    Inf 

State types
    x1       x2   
 Diffuse  Diffuse

Mdl является dssm объект модели.

Вычислите 10-периодные IRF измеряемых переменных.

ResponseY = irf(Mdl,'NumPeriods',10);

ResponseY множество 10 на 2 на 2, представляющее IRFs с 10 периодами переменных измерения. Например, ResponseY(:,1,2) является IRF $_{y2,}$ t в результате шока, приложенного к $_{u1,}$ t.

ResponseY(:,1,2)

Переменные состояния кумулятивные IRF оценочной модели

Моделирование данных из известной модели, подгонка данных к модели пространства состояний, а затем оценка кумулятивных IRF переменных состояний.

Предположим, что процесс генерации данных (DGP) является моделью AR (1).

$_{xt} = 1 +_{0 .}_{}$ 9xt-2 + ut,

где $_{ut}$ - ряд независимых и одинаково распределенных гауссовых переменных со средним значением 0 и дисперсией 1.

Смоделировать 500 наблюдений из модели.

rng(1); % For reproducibility
DGP = arima('Constant',1,'AR',{0 0.9},'Variance',1);
y = simulate(DGP,500);

Явное создание шаблона модели «состояние-пространство» для оценки, представляющей модель

$\begin{array}{l} _{} xt=c_{+ϕxt-2}_{} \\ _{}_{+ηutyt=xt} . \end{array}$

A = [0 NaN NaN; 0 1 0; 1 0 0];
B = [NaN; 0; 0];
C = [1 0 0];
D = 0;
Mdl = ssm(A,B,C,D,'StateType',[0 1 0]);

Поместите шаблон модели в данные. Укажите набор положительных случайных стандартных гауссовых начальных значений для трех параметров модели.

EstMdl = estimate(Mdl,y,abs(randn(3,1)));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Sample size: 500
Logarithmic  likelihood:     -2085.74
Akaike   info criterion:      4177.49
Bayesian info criterion:      4190.13
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.36553       0.07967    4.58829  0.00000 
 c(2) |  0.70179       0.00738   95.13852   0      
 c(3) |  1.16649       0.02236   52.16929   0      
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | 10.72536        0          Inf      0      
 x(2) |   1             0          Inf      0      
 x(3) |  6.66084        0          Inf      0

EstMdl является полностью указанным ssm объект модели.

Оцените кумулятивные IRF переменных состояния и измерения.

[ResponseY,ResponseX] = irf(EstMdl,'Cumulative',true);

ResponseY является вектором 20 на 1, представляющим измеряемую переменную IRF. ResponseX представляет собой массив 20 на 1 на 3, представляющий IRF переменных состояния.

Отображение IRF $_{xt}$ , которая является первой переменной состояния в системе $_{x1,}$ t.

irfx = ResponseX(:,:,1)

irfx = 20×1

    1.1665
    1.1665
    1.9851
    1.9851
    2.5596
    2.5596
    2.9628
    2.9628
    3.2458
    3.2458
      ⋮

Убедитесь, что, поскольку $_{yt} =_{}$ xt,ResponseY = ResponseX(:,:,1).

ver1 = sum(abs(ResponseY - ResponseX(:,:,1)))

ver1 = 0

Убедитесь, что, поскольку $_{x1,} t-1_{=}$ x3 , t,ResponseX(1:(end-2),1,1) = ResponseX(2:(end-1),:,3).

ver2 = sum(abs(ResponseX(1:(end-2),:,1) - ResponseX(2:(end-1),:,3)))

ver2 = 0

Изменяющаяся во времени IRF

Моделирование данных из изменяющейся во времени модели состояния-пространства, подгонка модели к данным, а затем оценка изменяющейся во времени IRF.

Рассмотрим DGP, представленный системой

$\begin{array}{l} _{} \begin{array}{l} _{}_{} \\ _{}_{} \end{array} \\ _{}_{}_{xt={0.75xt-1+ut;t<11-0.1xt-1+3ut;t≥11yt=1.5xt+2εt} . \end{array}$

Функция timeVariantAR1ParamMap.m, хранится в mlr/examples/econ/main, определяет структуру модели. mlr - значение matlabroot.

type timeVariantAR1ParamMap.m

% Copyright 2020 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D] = timeVariantAR1ParamMap(params)
% Time-varying state-space model parameter mapping function example. This
% function maps the vector params to the state-space matrices (A, B, C, and
% D). From periods 1 through 10, the state model is an AR(1)model, and from
% periods 11 through 20, the state model is possibly a different AR(1)
% model. The measurement equation is the same throughout the time span.
    A1 = {params(1)};
    A2 = {params(2)};
    varu1 = exp(params(3));  % Positive variance constraints
    varu2 = exp(params(4));
    B1 = {sqrt(varu1)}; 
    B2 = {sqrt(varu2)};
    C = params(5);
    vare1 = exp(params(6));
    D = sqrt(vare1);
    A = [repmat(A1,10,1); repmat(A2,10,1)];
    B = [repmat(B1,10,1); repmat(B2,10,1)];
end

Неявно создайте частично заданную модель пространства состояния, представляющую DGP. Для этого примера зафиксируйте коэффициент чувствительности измерения $C$ к 1.5.

C = 1.5;
fixCParamMap = @(x)timeVariantAR1ParamMap([x(1:4), C, x(5)]);
DGP = ssm(fixCParamMap);

Смоделировать 20 наблюдений из DGP. Поскольку DGP частично указан, передать истинные значения параметров в simulate с помощью 'Params' аргумент пары имя-значение.

rng(10) % For reproducibility
A1 = 0.75;
A2 = -0.1; 
B1 = 1;
B2 = 3;
D = 2;
trueParams = [A1 A2 2*log(B1) 2*log(B2) 2*log(D)]; % Transform variances for parameter map
y = simulate(DGP,20,'Params',trueParams);

y является вектором 20 на 1 моделируемых измерений $_{yt}$ из DGP.

Поскольку DGP является частично указанным неявным объектом модели, его параметры неизвестны. Поэтому он может служить образцом модели для оценки.

Подгонка модели к моделируемым данным. Укажите случайные стандартные розыгрыши Гаусса для начальных значений параметров. Возвращает оценки параметров.

[~,estParams] = estimate(DGP,y,randn(1,5),'Display','off')

estParams = 1×5

    0.6164   -0.1665    0.0135    1.6803   -1.5855

estParams является вектором 1 на 5 оценок параметров. Список выходных аргументов функции отображения параметров определяет порядок оценок: A{1}, A{2}, B{1}, B{2}, и D.

Оценка IRF переменных измерения и состояния путем предоставления DGP (не оценочная модель) и оценочные параметры с использованием 'Params' аргумент пары имя-значение.

[responseY,responseX] = irf(DGP,'Params',estParams);
table(responseY,responseX)

ans=20×2 table
     responseY      responseX 
    ___________    ___________

         1.5101         1.0068
        0.93091         0.6206
        0.57385        0.38257
        0.35374        0.23583
        0.21806        0.14537
        0.13442       0.089615
       0.082863       0.055242
        0.05108       0.034054
       0.031488       0.020992
       0.019411        0.01294
     -0.0032311     -0.0021541
     0.00053785     0.00035857
    -8.9531e-05    -5.9687e-05
     1.4903e-05     9.9356e-06
    -2.4808e-06    -1.6539e-06
     4.1296e-07     2.7531e-07
      ⋮

responseY и responseX являются изменяющимися во времени IRF. Первые 10 периодов соответствуют IRF первого уравнения состояния. В течение периода 11 остальная часть удара переходит во второе уравнение состояния и фильтруется через эту систему до тех пор, пока она не уменьшится.

Оценка доверительных границ IRF

Предположим, что процесс генерации данных (DGP) является моделью AR (1).

$_{xt} = 1 +_{0 .}_{}$ 9xt-2 + ut,

Смоделировать 500 наблюдений из модели.

rng(1); % For reproducibility
DGP = arima('Constant',1,'AR',{0 0.9},'Variance',1);
y = simulate(DGP,500);

Явно создайте шаблон модели диффузного состояния и пространства для оценки, который представляет модель. Подгоните модель к данным и верните оценки параметров и их соответствующую матрицу оцененной ковариации.

A = [0 NaN NaN; 0 1 0; 1 0 0];
B = [NaN; 0; 0];
C = [1 0 0];
D = 0;
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',[0 1 0]);
[~,estParams,EstParamCov] = estimate(Mdl,y,abs(randn(3,1)));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:            500
Logarithmic  likelihood:     -2085.74
Akaike   info criterion:      4177.49
Bayesian info criterion:      4190.13
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.36553       0.07967    4.58829  0.00000 
 c(2) |  0.70179       0.00738   95.13852   0      
 c(3) |  1.16649       0.02236   52.16929   0      
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | 10.72536        0          Inf      0      
 x(2) |   1             0          Inf      0      
 x(3) |  6.66084        0          Inf      0

Mdl является ssm шаблон модели для оценки. estParams является вектором оцененных коэффициентов 3 на 1. EstParamCov является матрицей оцененной ковариации 3 на 3 оценок коэффициентов.

Оцените IRF переменных состояния и измерения с 95% доверительными интервалами.

[ResponseY,ResponseX,LowerY,UpperY,LowerX,UpperX] = irf(Mdl,'Params',estParams,...
    'EstParamCov',EstParamCov);

ResponseY, LowerY, и UpperY представляют собой векторы 20 на 1, представляющие измеряемую переменную IRF и соответствующие нижние и верхние доверительные границы. ResponseX, LowerX, и UpperX представляют собой массивы 20 на 1 на 3, представляющие IRF и соответствующие нижние и верхние доверительные границы переменных состояния.

Отображение таблицы, содержащей IRF и доверительные границы первого состояния, представляющего модель AR (2).

table(LowerX(:,1,1),ResponseX(:,1,1),UpperX(:,1,1),...
    'VariableNames',["LowerIRFx" "IRFX" "UpperIRFX"])

ans=20×3 table
    LowerIRFx      IRFX      UpperIRFX
    _________    ________    _________

      1.1214       1.1665       1.209 
           0            0           0 
     0.78826      0.81864     0.84833 
           0            0           0 
     0.54845      0.57452     0.60214 
           0            0           0 
     0.37964      0.40319     0.42929 
           0            0           0 
      0.2609      0.28296     0.30597 
           0            0           0 
     0.17908      0.19858     0.21954 
           0            0           0 
     0.12339      0.13936     0.15655 
           0            0           0 
    0.084751     0.097803     0.11184 
           0            0           0 
      ⋮

Модель имеет только один член запаздывания (отставание 2). Поэтому, поскольку шок фильтруется через систему, он воздействует на первую переменную состояния только в нечетные периоды.

Входные аргументы

`Mdl` - Модель «состояние-пространство»
`ssm` объект модели | `dssm` объект модели

Модель пространства состояния, заданная как ssm объект модели, возвращенный ssm или его estimate функцию или dssm объект модели, возвращенный dssm или его estimate функция.

Если Mdl частично указан (то есть содержит неизвестные параметры), указать оценки неизвестных параметров с помощью 'Params' аргумент «имя-значение». В противном случае irf выдает ошибку.

irf выдает ошибку при Mdl - изменяющаяся во времени модель, содержащая по меньшей мере одну переменную, изменяющую размерность в течение периода выборки (например, переменная состояния выпадает из модели).

Совет

Если Mdl полностью указан, оценить доверительные границы невозможно. Для оценки доверительных границ:

Создание частично заданного шаблона модели состояния-пространства для оценки Mdl.
Оцените модель с помощью estimate функции и данных. Возврат расчетных параметров estParams и матрица ковариации оцененного параметра EstParamCov.
Передача шаблона модели для оценки Mdl кому irfи укажите оценки параметров и ковариационную матрицу, используя 'Params' и 'EstParamCov' аргументы «имя-значение».
Для irf функция возвращает соответствующие выходные аргументы для нижней и верхней доверительных границ.

Аргументы пары «имя-значение»

Укажите дополнительные пары, разделенные запятыми Name,Value аргументы. Name является именем аргумента и Value - соответствующее значение. Name должен отображаться внутри кавычек. Можно указать несколько аргументов пары имен и значений в любом порядке как Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример: 'NumPeriods',10,'Cumulative',true указывает 10-периодный совокупный IRF, начинающийся в момент времени 1, в течение которого irf применяет шок к переменной нарушения состояния в системе и заканчивается в периоде 10.

Опции IRF

`'NumPeriods'` - Количество периодов
`20` (по умолчанию) | положительное целое число

Количество периодов, для которых irf вычисляет IRF, указанный как положительное целое число. Периоды в IRF начинаются в момент времени 1 и заканчиваются в момент времени NumPeriods.

Пример: 'NumPeriods',10 определяет включение 10 последовательных моментов времени в IRF, начиная с момента 1, в течение которого irf применяет шок и заканчивается в момент времени 10.

Типы данных: double

`'Params'` - Оценки неизвестных параметров
числовой вектор

Оценки неизвестных параметров в частично заданной модели состояния-пространства Mdl, задается как числовой вектор.

Если Mdl частично указан (содержит неизвестные параметры, указанные NaNs), необходимо указать Params. estimate функция возвращает оценки параметров Mdl в соответствующей форме. Тем не менее, вы можете предоставить пользовательские оценки, упорядочив элементы Params следующим образом:

Если Mdl является явно созданной моделью (Mdl.ParamMap пуст []), расположить элементы Params чтобы соответствовать попаданиям поиска по столбцам NaNs в матрицах коэффициентов модели «состояние-пространство», среднем векторе начального состояния и ковариационной матрице.
- Если Mdl инвариантно ли время, порядок равен A, B, C, D, Mean0, и Cov0.
- Если Mdl изменяется во времени, порядок A{1} через A{end}, B{1} через B{end}, C{1} через C{end}, D{1} через D{end}, Mean0, и Cov0.
Если Mdl является неявно созданной моделью (Mdl.ParamMap является дескриптором функции), первый входной аргумент функции отображения параметра в матрицу определяет порядок элементов Params.

Если Mdl полностью указан, irf игнорирует Params.

Пример: Рассмотрим модель state-space Mdl с A = B = [NaN 0; 0 NaN] , C = [1; 1], D = 0и начальное состояние означает 0 с ковариацией eye(2). Mdl частично указан и явно создан. Поскольку параметры модели содержат в общей сложности четыре NaNs, Params должен быть вектором 4 на 1, где Params(1) - оценка A(1,1), Params(2) - оценка A(2,2), Params(3) - оценка B(1,1), и Params(4) - оценка B(2,2).

Типы данных: double

`'Cumulative'` - Флаг для вычисления совокупной IRF
`false` (по умолчанию) | `true`

Флаг для вычисления совокупного значения IRF, указанного как значение в этой таблице.

Стоимость	Описание
`true`	`irf` вычисляет совокупный IRF всех переменных в указанном диапазоне времени.
`false`	`irf` вычисляет стандартную попериодическую IRF всех переменных в указанном диапазоне времени.

Пример: 'Cumulative',true

Типы данных: logical

`'Method'` - алгоритм оценки IRF
`'repeated-multiplication'` (по умолчанию) | `'eigendecomposition'`

Алгоритм оценки IRF, указанный как 'repeated-multiplication' или 'eigendecomposition'.

IRF-оценщик времени m содержит коэффициент Am. В этой таблице описаны поддерживаемые алгоритмы для вычисления мощности матрицы.

Стоимость Описание

'repeated-multiplication' irf использует рекурсивное умножение.

'eigendecomposition' irf пытается использовать спектральное разложение А для вычисления мощности матрицы. Укажите это значение, только если вы подозреваете, что алгоритм рекурсивного умножения может столкнуться с числовыми проблемами. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритмы.

Стоимость	Описание
`'repeated-multiplication'`	`irf` использует рекурсивное умножение.
`'eigendecomposition'`	`irf` пытается использовать спектральное разложение А для вычисления мощности матрицы. Укажите это значение, только если вы подозреваете, что алгоритм рекурсивного умножения может столкнуться с числовыми проблемами. Дополнительные сведения см. в разделе Алгоритмы.

Типы данных: string | char

Варианты оценки, связанные с доверием

`'EstParamCov'` - Оценочная ковариационная матрица неизвестных параметров
положительная полуопределенная числовая матрица

Оценочная ковариационная матрица неизвестных параметров в частично заданной модели состояния-пространства Mdl, указанная как положительная полуопределённая числовая матрица.

estimate возвращает матрицу ковариации оцененного параметра Mdl в соответствующей форме. Однако можно предоставить пользовательские оценки путем установки EstParamCov(i,j) к оценочной ковариации оценочных параметров Params(i) и Params(j), независимо от того, Mdl является инвариантным по времени или изменяющимся по времени.

Если Mdl полностью указан, irf игнорирует EstParamCov.

По умолчанию irf не оценивает доверительные границы.

Типы данных: double

`'NumPaths'` - Количество путей выборки Монте-Карло
`1000` (по умолчанию) | положительное целое число

Количество путей выборки Монте-Карло (испытаний), генерируемых для оценки доверительных границ, указанных как положительное целое число.

Пример: 'NumPaths',5000

Типы данных: double

`'Confidence'` - Уровень достоверности
`0.95` (по умолчанию) | числовой скаляр в [0,1]

Уровень достоверности для доверительных границ, заданный как числовой скаляр в интервале [0,1].

Для каждого периода случайным образом полученные доверительные интервалы охватывают истинный ответ 100*Confidence% времени.

Значение по умолчанию: 0.95, что подразумевает, что доверительные границы представляют 95% доверительные интервалы.

Типы данных: double

Выходные аргументы

`ResponseY` - IRF измеряемых переменных
числовой массив

IRF измеряемых переменных yt, возвращаемых как NumPeriods-by-k-by-n числовой массив.

ResponseY(t,i,j) - динамический отклик измеряемой переменной j в период t, когда единичный шок применяется к переменной нарушения состояния i в течение периода 1, для t = 1,2,...,NumPeriods, i = 1,2,..., k и j = 1,2,..., n.

`ResponseX` - IRF переменных состояния
числовой массив

IRF переменных состояния xt, возвращенные как NumPeriods-by-k-by-m числовой массив.

ResponseX(t,i,j) - динамический отклик переменной состояния j в период t, когда единичный шок применяется к переменной нарушения состояния i в течение периода 1, для t = 1,2,...,NumPeriods, i = 1,2,..., k и j = 1,2,..., м.

`LowerY` - Точечные более низкие доверительные границы измеряемой переменной IRF
числовой массив

Точечные более низкие доверительные границы измеряемой переменной IRF, возвращаемой как NumPeriods-by-k-by-n числовой массив.

LowerY(t,i,j) - нижняя граница 100*ConfidenceИнтервал% процентиля для истинной динамической характеристики измеряемой переменной j в период t, когда единичный шок применяется к переменной нарушения состояния i в период 1.

`UpperY` - Точечные верхние доверительные границы измеряемой переменной IRF
числовой массив

Точечные верхние доверительные границы измеряемой переменной IRF, возвращаемой как NumPeriods-by-k-by-n числовой массив.

UpperY(t,i,j) - верхняя доверительная граница, соответствующая нижней доверительной границе; LowerY(t,i,j).

`LowerX` - Точечные более низкие доверительные границы переменной состояния IRF
числовой массив

Точечные более низкие доверительные границы переменной состояния IRF, возвращаемой как NumPeriods-by-k-by-m числовой массив.

LowerX(t,i,j) - нижняя граница 100*ConfidenceИнтервал% процентиля для истинного динамического отклика переменной состояния j в период t, когда единичный шок применяется к переменной нарушения состояния i в период 1.

`UpperX` - Точечные верхние доверительные границы переменной состояния IRF
числовой массив

Точечные верхние доверительные границы переменной состояния IRF, возвращаемой как NumPeriods-by-k-by-m числовой массив.

UpperX(t,i,j) - верхняя доверительная граница, соответствующая нижней границе LowerX(t,i,j).

Подробнее