A = gallery('binomial',n) возвращает nоколо-n матрица с целочисленными записями, такими, что A^2 = 2^(n-1)*eye(n).

Матрица B = A*2^((1-n)/2) является инволюционной (матрица, которая является собственной обратной).

A = gallery('cauchy',x,y) возвращает nоколо-n матрица с записями A(i,j) = 1/(x(i)+y(j)). Аргументы x и y - векторы длины n. Если передать скаляры для x и y, они интерпретируются как векторы 1:x и 1:y.

A = gallery('cauchy',x) возвращает то же, что и выше с помощью y = x. Другими словами, A(i,j) = 1/(x(i)+x(j)).

Явные формулы известны для инверсии и определителя матрицы Коши.

Детерминант det(C) ненулевое значение, если x и y оба имеют различные элементы.

C является полностью положительным, если 0 < x(1) < ... < x(n) и 0 < y(1) < ... < y(n).

A = gallery('chebspec',n,k) возвращает матрицу спектрального дифференцирования Чебышева размера nоколо-n. Аргумент k, которая может принять значение 0 (по умолчанию) или 1, определяет символ выходной матрицы.

Для k = 0 (без граничных условий), A nilpotent, означает, что существует положительное целое число c такой, что A^c = 0. Матрица A имеет нулевой вектор ones(n,1).

Для k = 1, A является несингулярным и хорошо обусловленным, и его собственные значения имеют отрицательные реальные части.

Для k = 0, матрица A похож на блок Джордана размером n с собственным значением ноль. Две матрицы A и B называются подобными при наличии обратимой матрицы P такого же размера, чтобы B = inv(P)*A*P.

Для обоих k, матрица собственных векторов матрицы спектральной дифференциации Чебышева плохо кондиционирована.

A = gallery('chebvand',x) производит первичную матрицу Чебышева Вандермонде на основе вектора точек x, которая определяет, где вычисляется многочлен Чебышёва. Аргумент x - вектор длины n, и размер A является nоколо-n. Записи A являются A(i,j) = Т_{i – 1(}x(j)), где T_{i - 1} - многочлен Чебышёва первого рода степени i – 1. Если x является скаляром, то x равноотстоящие точки на интервале [0,1] используются для расчета A.

A = gallery('chebvand',m,x) создает прямоугольную версию вышеуказанного с m строки, где m является скаляром.

A = gallery('chow',n,alpha,delta) возвращает матрицу Chow порядка n, который является nоколо-n нижняя матрица Гессенберга. Матрица A определяется как

где матричными элементами Hα являются Hα (i, j) = ^{α (i-j +} 1) для (i-j + 1) ≥ 0, δ - коэффициент, а I - коэффициентnоколо-n единичная матрица.

A = gallery('chow',n) использует значения по умолчанию 1 и 0 для alpha и deltaсоответственно.

Hα имеет p = floor(n/2) собственные значения, равные нулю. Остальные собственные значения равны 4*alpha*cos(k*pi/(n+2))^2, где k = 1:(n-p).

A = gallery('circul',v) возвращает nоколо-n циркулятная матрица, первая строка которой является вектором v длины n. Циркуляционная матрица - это специальный вид матрицы Тёплица, где каждая строка получается из предыдущей циклическим перемещением записей на одно место вправо. Если v является скаляром, то A = gallery('circul',1:v).

Собственная система A известен явным образом. Если t является n-й корень единства, затем внутреннее произведение v и w = [1 t t^2 ... t^(n – 1)] является собственным значением A и w(n:-1:1) является собственным вектором.

A = gallery('clement',n,k) возвращает nоколо-n тридиагональная матрица с нулями на ее главной диагонали. Для k = 0 (по умолчанию), A несимметричен. Для k = 1, A симметричен.

A = gallery('clement',n,1) диагонально подобен B = gallery('clement',n,0), где существует диагональная матрица D такого же размера, что B = inv(D)*A*D.

Если n является нечетным, то A является сингулярной матрицей.

Собственные значения A явным образом известны, которые включают в себя плюс и минус числа n-1, n-3, n-5, ..., 1 или 0.

Два предыдущих свойства также содержат gallery('tridiag',x,y,z), где y = zeros(n,1). Если длина входного вектора y или n является нечетным, то gallery('tridiag',x,y,z) является единственным. Собственные значения по-прежнему входят в пары плюс и минус, но они не известны явным образом.

Для нечетных n = 2*m+1 и k = 0, gallery('clement',n,0) имеет m+1 сингулярные значения, которые равны sqrt((2*m+1)^2 - (2*t+1).^2) для t = 0:m.

A = gallery('compar',B,k) возвращает матрицу сравнения B.

Для k = 0 (по умолчанию), A(i,j) = abs(B(i,j)) если i == j и A(i,j) = -abs(B(i,j)) в противном случае.

Для k = 1, A = gallery('compar',B,1) заменяет каждый диагональный элемент B своим абсолютным значением и заменяет каждый внедиагональный элемент отрицательным из наибольшего абсолютного значения внедиагональных элементов в одной строке.

Если B треугольный, то A = gallery('compar',B,1) тоже треугольный.

A = gallery('condex',n,k,alpha) возвращает матрицу контрпримера оценщику номера условия. Он принимает скалярный параметр alpha (по умолчанию - 100) и возвращает матрицу размера nоколо-n.

Матрица, ее естественный размер и оценщик, к которому она применяется, определяются k.

Если n не равно натуральному размеру матрицы, то матрица дополняется единичной матрицей на порядок n.

A = gallery('cycol',n,k) возвращает nоколо-n матрица с циклически повторяющимися столбцами, где один цикл состоит из столбцов, определенных randn(n,k). Таким образом, ранг матрицы A не может превышать k, и k должен быть скаляром. Аргумент k скаляр со значением по умолчанию round(n/4), и ему не нужно равномерно делить n.

A = gallery('cycol',[m n],k) возвращает mоколо-n матрица с циклически повторяющимися столбцами, где один цикл состоит из столбцов, определенных randn(m,k).

A = gallery('dorr',n,theta) возвращает матрицу Дорра, которая является nоколо-n, строка диагонально доминантная, тридиагональная матрица, которая плохо обусловлена небольшими неотрицательными значениями theta. Значение по умолчанию theta является 0.01.

[v1,v2,v3] = gallery('dorr',n,alpha) возвращает векторы, определяющие матрицу Дорра. Сама матрица Дорра такая же, как gallery('tridiag',v1,v2,v3).

A = gallery('dramadah',n,k) возвращает nоколо-n матрица 0и 1. n и k оба должны быть скалярами. Для k = 0 и 1, mu(A) = norm(inv(A),'fro') является относительно большим, хотя и не обязательно максимальным [2]. Аргумент k определяет символ выходной матрицы, как указано ниже.

A = gallery('fiedler',x), где x - длина n вектор, возвращает значение nоколо-n симметричная матрица с элементами A(i,j) = abs(x(i)-x(j)). Для скаляра x, A = gallery('fiedler',1:x).

Матрица A имеет доминирующее положительное собственное значение, а все другие собственные значения являются отрицательными.

Явные формулы для inv(A) и det(A) приведены в [3] и приписаны Фидлеру. Эти формулы указывают, что inv(A) является тридиагональным, за исключением ненулевых значений (1,n) и (n,1) элементы.

A = gallery('forsythe',n,alpha,lambda) возвращает значение nоколо-n матрица равна блоку Джордана с собственным значением lambda, за исключением того, что A(n,1) = alpha. Значения скаляров по умолчанию alpha и lambda являются sqrt(eps) и 0соответственно.

Характерный многочлен A задается det(A-t*I) = (lambda-t)^n - alpha*(-1)^n.

A = gallery('frank',n,k) возвращает матрицу Франка размера nоколо-n для значения по умолчанию k = 0. Матрица Франка - верхняя матрица Гессенберга с определителем 1. Если k = 1, элементы отражаются об антидиагональном, (1,n), (2,n-1), …, (n,1).

Собственные значения A может быть получен в терминах нулей многочленов Эрмита. Они положительны и встречаются в взаимных парах.

Если n является нечетным, то 1 является собственным значением.

Наименьшая половина собственных значений или наименьшая floor(n/2) собственные значения, плохо кондиционированы.

A = gallery('gcdmat',n) возвращает значение nоколо-n матрица с A(i,j) равно gcd(i,j).

Матрица A является симметричным положительным определенным, и A.^r является симметричным положительным полуопределением для всех неотрицательных r.

A = gallery('gearmat',n,i,j) возвращает значение nоколо-n матрица с 1на субдиагональном и сверхдиагональном, sign(i) в (1,abs(i)) положение, sign(j) в (n,n+1-abs(j)) положение, и 0везде. Аргументы i и j по умолчанию для n и -nсоответственно. Они должны быть целыми числами в диапазоне -n кому n.

Матрица A является сингулярным, может иметь двойные и тройные собственные значения и может быть дефектным.

Все собственные значения имеют вид 2 * cos (a), а собственные векторы имеют вид [sin (w + a), sin (w + 2a),..., sin (w + na)], где a и w даны в [4].

A = gallery('grcar',n,k) возвращает nоколо-n Матрица Теплица с -1на поддиагональном, 1находится на главной диагонали, и 1включен k диагонали над главной диагональю. k должно быть целым числом, а значением по умолчанию является k = 3. A имеет собственные значения, чувствительные к возмущению.

A = gallery('hanowa',n,alpha) возвращает 2около-2 блочная матрица с четырьмя n/2около-n/2 блоки формы:

[alpha*eye(n/2) -diag(1:n/2)
diag(1:n/2)     alpha*eye(n/2)]

Аргумент n должно быть четным целым числом. Значение по умолчанию alpha является -1. A имеет сложные собственные значения вида alpha ± k*i, для 1 <= k <= n/2.

[v,beta] = gallery('house',x) берет x, скаляр или n- вектор столбца элемента и возвращает v и beta такой, что H = eye(n) - beta*v*v' является матрицей домохозяев. Матрица домохозяев H удовлетворяет свойству

H*x = -sign(x(1))*norm(x)*e1 

где e1 является первым столбцом eye(n).

Обратите внимание, что если x является сложным, то sign(x) = exp(i*arg(x)), что равно x./abs(x) когда x имеет ненулевое значение. Если x равно нулю, то v равно нулю и beta = 1.

[v,beta,s] = gallery('house',x,k) берет xодин n- вектор столбца элемента и возвращает v и beta такой, что H*x = s*e1. В этом выражении e1 является первым столбцом eye(n), abs(s) = norm(x), и H = eye(n) - beta*v*v' является матрицей домохозяев.

k определяет знак s как указано ниже.

Если x равно нулю или если x = alpha*e1 (alpha >= 0) и либо k = 1 или k = 2, то v равно нулю, beta = 1, и s = x(1). В этом случае H = eye(n) является единичной матрицей, которая не является матрицей домохозяев.

A = gallery('integerdata',imax,[m,n,...],k) возвращает mоколо-nоколо-... множество A чьи значения являются выборкой из равномерного распределения по целым числам 1:imax. k является случайным начальным числом и должно быть целым числом в интервале [0,2^32-1]. Запрос gallery('integerdata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы gallery('integerdata',...) с тем же imax, вектор размера и k всегда возвращает один и тот же массив.

При любом вызове gallery('integerdata',...) можно заменить отдельные вводы m,n,... для ввода вектора размера [m,n,...]. Например, gallery('integerdata',7,[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('integerdata',7,1,2,3,4,5).

A = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k) возвращает mоколо-nоколо-... множество A чьи значения являются выборкой из равномерного распределения по целым числам imin:imax.

[A1,A2,...,Am] = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k) возвращает несколько mоколо-nоколо-... множества A1, A2, ..., Am содержит различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('integerdata',[imin imax],[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должно быть 'double' (по умолчанию), 'single', 'uint8', 'uint16', 'uint32', 'int8', 'int16', или int32'.

A = gallery('invhess',x,y), где x - длина n вектор и y - длина n-1 вектор, возвращает матрицу с элементами A(i,j) = x(j) если i <= j, и A(i,j) = y(i) в противном случае. Нижний треугольник A основан на векторе x, и строгий верхний треугольник основан на y. Аргумент y по умолчанию: -x(1:n-1).

Для скаляра n, gallery('invhess',n) является таким же, как gallery('invhess',1:n).

Матрица A является ненингулярным, если x(1) ~= 0 и x(i+1) ~= y(i) для всех i.

Обратная A - верхняя матрица Гессенберга.

A = gallery('invol',n) возвращает nоколо-n инволюционная матрица, где A*A = eye(n) и A плохо кондиционирован. Это диагонально масштабированная версия hilb(n).

Матрицы B = (eye(n)-A)/2 и B = (eye(n)+A)/2 являются идемпотентными, где B*B = B.

[A,beta] = gallery('ipjfact',n,k) возвращает nоколо-n Матрица Ханкеля A и его детерминант beta, что известно явным образом. Обратная A также известен явным образом.

Если k = 0 (по умолчанию), то элементы A являются A(i,j) = factorial(i+j). Если k = 1, то элементы A являются A(i,j) = 1/factorial(i+j).

A = gallery('jordbloc',n,lambda) возвращает значение nоколо-n Иорданский блок с собственным значением lambda. Значение по умолчанию для lambda является 1.

A = gallery('kahan',n,theta,pert) возвращает верхнюю трапециевидную матрицу, которая обладает интересными свойствами в отношении оценки состояния и ранга. Например, матрица Кахана иллюстрирует, что использование переставленного столбцом QR разложения может не дать хорошей ранговой оценки матрицы.

Если n является двухэлементным вектором, то A является n(1)около-n(2); в противном случае A является nоколо-n. Полезный диапазон theta является 0 < theta < pi, со значением по умолчанию 1.2.

Для обеспечения того, что факторизация QR с поворотом столбца не изменяет столбцы при наличии ошибок округления, основная диагональ возмущается pert*eps*diag([n:-1:1]). Значение по умолчанию pert является 1e3, что обеспечивает отсутствие взаимозаменов для gallery('kahan',n) по крайней мере до n = 100 в арифметике IEEE ® (для значения по умолчанию theta = 1.2).

A = gallery('kms',n,rho) возвращает значение nоколо-n Матрица Каца-Мердока-Сегё Тёплица такая, что A(i,j) = rho^(abs(i-j)) серьезно rho. Для сложных rho, та же формула имеет значение, за исключением того, что элементы ниже диагонали сопряжены. rho по умолчанию - 0,5.

Существует факторизация LDL A с L = inv(gallery('triw',n,-rho,1))', и D = (1-abs(rho)^2)*eye(n), за исключением первого элемента D является D(1,1) = 1.

A является положительным определенным тогда и только тогда, когда 0 < abs(rho) < 1.

Инверсия inv(A) является тридиагональным.

A = gallery('krylov',B,x,k) возвращает матрицу Крылова, где B является nоколо-n матрица, x - вектор с длиной n, и k должно быть целым числом. Матрица Крылова равна

[x, B*x, B^2*x, ..., B^(k-1)*x]

для вектора столбца x. Если аргументы не указаны x и k, они принимают значения по умолчанию x = ones(n,1) и k = n.

A = gallery('krylov',n) для скаляра n является таким же, как gallery('krylov',B) с B = randn(n).

A = gallery('lauchli',n,mu) возвращает значение (n+1)около-n матрица формы [ones(1,n); mu*eye(n)]. Аргумент mu по умолчанию: sqrt(eps).

Матрица Лаухли является хорошо известным примером для наименьших квадратов и других проблем, которые показывают опасности формирования A'*A при решении уравнения $${}^{}\stackrel{}{\mathrm{ATAx}}^{}^{=}$$ATb. МатрицаA'*A в целом более чувствителен к ошибкам округления, чем начальная матрица A.

A = gallery('lehmer',n) возвращает симметричное положительное определенное nоколо-n матрица такая, что A(i,j) = i/j для j >= i и A(i,j) = j/i в противном случае.

A совершенно неотрицательно.

Инверсия inv(A) является тридиагональным и явно известным.

Заказ n удовлетворяет n <= cond(A) <= 4*n*n.

A = gallery('leslie',x,y) является nоколо-n матрица из модели населения Лесли со средним числом рождений x(1:n) и показатели выживаемости y(1:n-1). Элементы матрицы в основном равны нулю, кроме первой строки, которая содержит x(i) и первый поддиагональный, который содержит y(i). Для допустимой модели элементы x являются неотрицательными, и элементы y положительны и ограничены 1, где 0 < y(i) <= 1.

A = gallery('leslie',n) генерирует матрицу Лесли с помощью x = ones(n,1) и y = ones(n-1,1).

A = gallery('lesp',n) возвращает nоколо-n матрица, собственные значения которой вещественны и плавно распределены в интервале [-2*n-3.5,-4.5].

Чувствительность собственных значений увеличивается экспоненциально, поскольку собственные значения становятся более отрицательными.

Матрица аналогична симметричной тридиагональной матрице B с теми же диагональными входами и с внедиагональными входами 1 посредством преобразования подобия A = inv(D)*B*D, где D = diag(factorial(1:n)).

A = gallery('lotkin',n) возвращает матрицу Гильберта с первой строкой, измененной на все 1.

Матрица Лоткина A несимметричен, плохо кондиционирован и имеет много отрицательных собственных значений малой величины.

Его обратная имеет целочисленные записи и известна явным образом [5].

A = gallery('minij',n) возвращает значение nоколо-n симметричная положительная определенная матрица с записями A(i,j) = min(i,j).

A имеет собственные значения 0.25*sec(r*pi/(2*n+1)).^2, где r = 1:n.

Инверсия inv(A) тридиагонально и равно -1 умножить на вторую матрицу разностей, за исключением ее (n,n) элемент - 1.

Матрица 2*A-ones(size(A)) имеет тридиагональные обратные и собственные значения 0.5*sec((2*r-1)*pi/(4*n)).^2, где r = 1:n.

A = gallery('moler',n,alpha) возвращает симметричное положительное определенное nоколо-n матрица U'*U, где U = gallery('triw',n,alpha). Для значения по умолчанию alpha = -1, A(i,j) = min(i,j)-2, и A(i,i) = i.

Для alpha = -1, одно из собственных значений A мал, что отличается на многие порядки по сравнению с остальными собственными значениями.

A = gallery('neumann',n) возвращает разреженное nоколо-n сингулярная, диагонально доминирующая матрица в результате дискретизации задачи Неймана обычным пятиточечным оператором на регулярной сетке. Аргумент n должно быть совершенным квадратным целым числом. A разрежен и имеет одномерное нулевое пространство с нулевым вектором ones(n,1).

A = gallery('neumann',[m n]) возвращает идентичную матрицу, но с размером m*nоколо-m*n. Аргументы m и n должны быть положительными целыми числами, где m должно быть больше 1.

A = gallery('normaldata',[m,n,...],k) возвращает mоколо-nоколо-... множество A. Элементы A представляют собой случайную выборку чисел из стандартного нормального распределения. k является случайным начальным числом и должно быть целым числом в интервале [0, 2^32-1]. Запрос gallery('normaldata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы gallery('normaldata',...) с таким же вектором размера [m,n,...] и одинаковое значение k всегда возвращает один и тот же массив.

При любом вызове gallery('normaldata',...) можно заменить отдельные вводы m,n,... для ввода вектора размера [m,n,...]. Например, gallery('normaldata',[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('normaldata',1,2,3,4,5).

[A1,A2,...,Am] = gallery('normaldata',[m,n,...],k) возвращает несколько mоколо-nоколо-... множества A1, A2, ..., Am содержит различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('normaldata',[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должно быть либо 'double'(по умолчанию) или 'single'.

A = gallery('orthog',n,k) возвращает значение kтретий тип матрицы порядка n, где k > 0 возвращает в точности ортогональные матрицы, и k < 0 возвращает различные диагональные шкалы ортогональных матриц.

A = gallery('parter',n) возвращает матрицу A такой, что A(i,j) = 1/(i-j+0.5).

A является матрицей Коши и Теплица.

Большинство сингулярных значений A очень близки к pi.

A = gallery('pei',n,alpha), где alpha является скаляром, возвращает симметричную матрицу alpha*eye(n) + ones(n). Значение по умолчанию для alpha является 1. Матрица является сингулярной для alpha равно одному из 0 или -n.

A = gallery('poisson',n) возвращает разреженную блочную тридиагональную матрицу порядка n^2 в результате дискретизации уравнения Пуассона с 5-балльным оператором на nоколо-n сетка.

A = gallery('prolate',n,alpha) возвращает значение nоколо-n матрица пролата с параметром alpha. Это симметричная, плохо обусловленная матрица Тёплица. Если 0 < alpha < 0.5, то A является положительным определенным.

Собственные значения A различны, лежат в интервале (0,1), и имеют тенденцию объединяться вокруг 0 и 1.

Значение по умолчанию w составляет 0,25.

A = gallery('randcolu',n) генерирует случайный nоколо-n матрица с нормированными столбцами единицы 2-норма и случайными сингулярными значениями из равномерного распределения.

A'*A является корреляционной матрицей аналогичной формы, полученной gallery('randcorr',n). Собственные значения последних равномерно распределены, в то время как для первых квадратные корни собственных значений равномерно распределены.

A = gallery('randcolu',x), где x - вектор длины n (n > 1), создает случайный nоколо-n матрица с сингулярными значениями, заданными вектором x. Вектор x должны иметь неотрицательные элементы, сумма квадратов которых n. Эта матрица также имеет нормированные столбцы блока 2-norm.

A = gallery('randcolu',__,m), где m >= n, производит mоколо-n матрица.

A = gallery('randcolu',__,m,k) предоставляет дополнительные опции на основе k.

A = gallery('randcorr',n) является случайным nоколо-n корреляционная матрица со случайными собственными значениями из равномерного распределения. Корреляционная матрица - симметричная положительная полуопределённая матрица с 1на диагонали.

A = gallery('randcorr',x) создает случайную корреляционную матрицу с собственными значениями, заданными вектором x, где length(x) > 1. Вектор x должны иметь неотрицательные элементы, сумма которых равна length(x).

A = gallery('randcorr',x,k) предоставляет дополнительные опции на основе k.

A = gallery('randhess',n) возвращает nоколо-n вещественная, случайная, ортогональная верхняя матрица Гессенберга.

A = gallery('randhess',x) конструкции A неслучайно с использованием элементов x в качестве параметров. x должен быть действительным вектором с длиной n, где n > 1.

В обоих случаях матрица A построен из продукта n-1 Дает вращения.

A = gallery('randjorth',n) создает случайный nоколо-n J-ортогональная матрица A что удовлетворяет соотношению A'*J*A = J (такие матрицы также известны как гиперболические). Здесь, J = blkdiag(eye(ceil(n/2)),-eye(floor(n/2))), и cond(A) = sqrt(1/eps).

A = gallery('randjorth',n,m), для положительных целых чисел n и m, производит случайный (n+mоколоn+mJ-ортогональная матрица A. Здесь, J = blkdiag(eye(n),-eye(m)), и cond(A) = sqrt(1/eps).

A = gallery('randjorth',n,m,alpha,symm,method)

использует следующие необязательные входные аргументы:

A = gallery('rando',n,k) возвращает случайный nоколо-n матрица. Входной аргумент k определяет элементы матрицы из одного из следующих дискретных распределений.

A = gallery('rando',[n m],k) возвращает случайный nоколо-m матрица.

A = gallery('randsvd',n,kappa,mode,kl,ku) возвращает полосовую (многодиагональную) случайную матрицу порядка n с номером условия cond(A) = abs(kappa), который должен быть больше или равен 1. Если n - двухэлементный вектор, A имеет размер n(1)около-n(2).

Значение по умолчанию kappa является sqrt(1/eps). Режим распределения mode определяет сингулярные значения матрицы.

Аргументы kl и ku укажите количество нижних и верхних смещенных диагоналей в Aсоответственно. Если они опущены, создается полная матрица с kl = n-1 и ku = kl. Если только kl присутствует, ku по умолчанию: kl.

Доступные значения mode перечислены ниже.

В особом случае kappa <= 1, A является симметричной положительной определенной матрицей с cond(A) = -kappa и собственные значения, распределенные по mode. В этом случае аргументы kl и ku игнорируются.

A = gallery('randsvd',n,kappa,mode,kl,ku,method) определяет способ выполнения вычислений для формирования тестовой матрицы. method = 0 является значением по умолчанию, в то время как method = 1 использует альтернативный метод для вызова qr это намного быстрее для больших измерений, даже если используется больше операций с плавающей запятой в секунду.

A = gallery('redheff',n) возвращает nоколо-n матрица 0и 1определяется A(i,j) = 1, если j = 1 или если i делится j, и A(i,j) = 0 в противном случае.

A имеет n-floor(log2(n))-1 собственные значения, равные 1.

A имеет действительное собственное значение (и его спектральный радиус), которое приблизительно sqrt(n).

A имеет отрицательное собственное значение, которое приблизительно -sqrt(n).

Остающееся floor(log2(n))-1 собственные значения имеют относительно небольшие модули, которые лежат внутри круга $${}_{\mathrm{log2}-}$$αn, для > 0 и достаточно большой n.

Гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда $$|det(A)|{}^{\mathrm{=}\mathrm{O}(}$$n1/2 + > 0.

Барретт и Джарвис догадываются, что floor(log2(n)) малых собственных значений лежат внутри единичной окружности abs(z) = 1. Доказательство этой гипотезы, вместе с доказательством того, что некоторые собственные значения стремятся к нулю как n стремится к бесконечности, даст новое доказательство теоремы о простых числах [7].

A = gallery('riemann',n) возвращает nоколо-n матрица, для которой гипотеза Римана верна тогда и только тогда, когда

для каждого, (В) > 0 [8].

Матрица Римана определяется как A = B(2:n+1,2:n+1), где B(i,j) = i-1 если i делится j, и B(i,j) = -1 в противном случае.

Каждое собственное значение e(i) удовлетворяет abs(e(i)) <= m-1/m, где m = n+1.

Собственные значения также удовлетворяют i <= e(i) < i+1, максимум с m-sqrt(m) исключения.

Все целые числа в интервале (m/3,m/2] являются собственными значениями.

A = gallery('ris',n) возвращает симметричный nоколо-n Матрица Hankel с элементами A(i,j) = 0.5/(n-i-j+1.5). Собственные значения A кластер вокруг δ/2 и -λ/2.

A = gallery('sampling',x), где x - вектор длины n, возвращает nоколо-n несимметричная матрица. Элементы матрицы: A(i,j) = x(i)/(x(i)-x(j)) для i ~= j и A(j,j) равно сумме внедиагональных элементов в столбце j. Если x является скаляром, то A = gallery('sampling',1:x).

A имеет целочисленные собственные значения 0:n-1 которые плохо кондиционированы.

Для собственных значений 0 и n-1, соответствующие собственные векторы x и ones(n,1)соответственно.

A имеет свойство, A(i,j) + A(j,i) = 1 для i ~= j.

Явные формулы доступны для левых собственных векторов A.

Особый случай этой матрицы появился в теории дискретизации, где ее правые собственные векторы, если правильно нормализовать, дают вероятности включения условной схемы пуассоновской дискретизации [9].

A = gallery('smoke',n) возвращает nоколо-n матрица с 1на сверхдиагональном и 1 в (n,1) позиция. Диагональ состоит из набора всех n-й корень единства.

A = gallery('smoke',n,1) возвращает то же, что и выше, за исключением того, что элемент A(n,1) равно нулю.

Собственные значения gallery('smoke',n,1) являются n-й корень единства.

Собственные значения gallery('smoke',n) являются n-й корень времен единства 2^(1/n).

Псевдоспектр матрицы A можно вычислить, найдя минимальное сингулярное значение матрицы zI-A в комплексной плоскости. Здесь z представляет точки в комплексной плоскости, а I является единичной матрицей. Псевдоспектра gallery('smoke',n) и gallery('smoke',n,1) имеют узоры «дымового кольца» вблизи их собственных значений.

A = gallery('toeppd',n,m,x,theta) возвращает nоколо-n симметричная матрица Тёплица, составленная из суммы m Матрицы Теплица (с рангом 1 или 2). x и theta - векторы длины m. Матрица A является положительным определенным, если все элементы x являются положительными. В частности, A генерируется

A = x(1)*T1 + ... + x(k)*Tk + ... + x(m)*Tm

где Tk является nоколо-n матрица, которая зависит от theta(k). Элементы Tk являются Tk(i,j) = cos(2*pi*theta(k)*(i-j)).

По умолчанию m = n, x = rand(m,1), и theta = rand(m,1).

A = gallery('toeppen',n,a,b,c,d,e) возвращает значение nоколо-n разреженная пятиугольная матрица Теплица с элементами: a на второй диагонали ниже главной диагонали, b на поддиагональном, c на главной диагонали, d на сверхдиагональном, и e на второй диагонали над главной диагональю, где a, b, c, d, и e скаляры.

По умолчанию (a,b,c,d,e) = (1,-10,0,10,1), получая матрицу, которая была первоначально введена Рутисхаузером [10]. Эта матрица имеет собственные значения, лежащие приблизительно на кривой 2*cos(2*t) + 20*i*sin(t) в комплексной плоскости.

A = gallery('tridiag',n) возвращает разреженную тридиагональную матрицу размера nоколо-n с субдиагональными элементами -1, диагональные элементы 2, и сверхдиагональные элементы -1. Эта матрица имеет собственные значения 2 + 2*cos(k*pi/(n+1)), где k = 1:n.

Генерируемая матрица является симметричной положительной определенной М-матрицей с действительными неотрицательными собственными значениями. Эта матрица также является отрицательной второй разностной матрицей.

A = gallery('tridiag',c,d,e) возвращает тридиагональную матрицу с субдиагональной c, диагональ d, и сверхдиагональный e определяется векторами c, d, и e. Длина векторов c и e должно быть length(d)-1.

A = gallery('tridiag',n,c,d,e), где c, d, и e все скаляры, дает тридиагональную матрицу Toeplitz размера nоколо-n с субдиагональными элементами c, диагональные элементы d, и сверхдиагональные элементы e. Эта матрица имеет собственные значения d + 2*sqrt(c*e)*cos(k*pi/(n+1)), где k = 1:n.

A = gallery('triw',n,alpha,k) возвращает верхнюю треугольную матрицу с 1 в диагонали и alphaна первом k >= 0 супердиагоналы. По умолчанию alpha = -1, и k = n-1.

Заказ n может быть 2-элементным вектором, в этом случае матрица n(1)около-n(2) и верхняя трапециевидная.

Для alpha = 2, номер условия матрицы удовлетворяет:

cond(gallery('triw',n,2)) = cot(pi/(4*n))^2,

Для больших abs(alpha), cond(gallery('triw',n,alpha)) составляет приблизительно abs(alpha)^n*sin(pi/(4*n-2)).

Матрица A = gallery('triw',n) становится единственным при добавлении -2^(2-n) к (n,1) элемент. Матрица также становится единственной при добавлении -2^(1-n) к его элементам в первом столбце.

A = gallery('uniformdata',[m,n,...],k) возвращает mоколо-nоколо-... множество A. Элементы A представляют собой случайную выборку чисел из стандартного равномерного распределения. k является случайным начальным числом и должно быть целым числом в интервале [0, 2^32-1]. Запрос gallery('uniformdata',...) с различными значениями k возвращает различные массивы. Повторные вызовы gallery('uniformdata',...) с таким же вектором размера [m,n,...] и одинаковое значение k всегда возвращает один и тот же массив.

При любом вызове gallery('uniformdata',...) можно заменить отдельные вводы m,n,... для ввода вектора размера [m,n,...]. Например, gallery('uniformdata',[1,2,3,4],5) эквивалентно gallery('uniformdata',1,2,3,4,5).

[A1,A2,...,Am] = gallery('uniformdata',[m,n,...],k) возвращает несколько mоколо-nоколо-... множества A1, A2, ..., Am содержит различные значения.

[A1,A2,...,Am] = gallery('uniformdata',[m,n,...],k,typename) создает массивы с элементами типа typename. typename должно быть либо 'double' (по умолчанию) или 'single'.

A = gallery('wathen',nx,ny) возвращает разреженное случайное значение, nоколо-n матрица конечных элементов, где n = 3*nx*ny + 2*nx + 2*ny + 1.

Матрица A является именно «непротиворечивой массовой матрицей» для обычного nxоколо-ny сетка из 8-узловых (serendipity) элементов в двух измерениях. A симметричен, положителен определён для любых (положительных) значений «плотности» rho(nx,ny), который выбирается случайным образом.

B = gallery('wathen',nx,ny,1) возвращает диагонально масштабированную матрицу на основе предыдущего синтаксиса, где B = diag(diag(A))\A. Собственные значения этой матрицы удовлетворяют

0.25 <= eig(B) <= 4.5

для любых положительных целых чисел nx и ny и любые плотности rho(nx,ny).

[U,b] = gallery('wilk',3) возвращает верхнюю треугольную систему U*x = b иллюстрация неточного решения.

[L,b] = gallery('wilk',4) возвращает нижнюю треугольную систему L*x = b, что плохо обусловлено.

A = gallery('wilk',5) возвращает симметричную положительную определенную матрицу A = B(1:5,2:6)*1.8144, где B = hilb(6).

A = gallery('wilk',21) прибыль W21+тридиагональная матрица с парами почти равных собственных значений. Для получения дополнительной информации см. [11].