Создайте квадратную матрицу 3 на 3, A.

A = [1 -2 4; -5 2 0; 1 0 3]

A = 3×3

     1    -2     4
    -5     2     0
     1     0     3

Вычислить определитель A.

d = det(A)

d = -32

Изучите, почему определитель не является точной мерой сингулярности.

Создайте матрицу 10 на 10 путем умножения единичной матрицы. eye(10), небольшим числом.

A = eye(10)*0.0001;

Матрица A имеет очень маленькие записи по главной диагонали. Однако A не является сингулярным, поскольку является кратным единичной матрице.

Вычислить определитель A.

d = det(A)

d = 1.0000e-40

Определитель чрезвычайно мал. Проверка формы на допуск abs(det(A)) < tol скорее всего, отметит эту матрицу как сингулярную. Хотя определитель матрицы близок к нулю, A на самом деле не плохо кондиционирован. Поэтому A не близок к тому, чтобы быть единственным. Определитель матрицы может быть произвольно близок к нулю без передачи информации о сингулярности.

Исследовать, если A является единственным, используйте либо cond или rcond функции.

Вычислите номер условия A.

c = cond(A)

c = 1

Результат подтверждает, что A не плохо кондиционирован.

Исследуйте матрицу, которая является в точности сингулярной, но имеет большой ненулевой определитель. Теоретически определитель любой сингулярной матрицы равен нулю, но из-за природы вычисления с плавающей запятой этот идеал не всегда достижим.

Создание диагонально доминирующей сингулярной матрицы 13 на 13 A и просмотр массива ненулевых элементов.

A = diag([24 46 64 78 88 94 96 94 88 78 64 46 24]);
S = diag([-13 -24 -33 -40 -45 -48 -49 -48 -45 -40 -33 -24],1);
A = A + S + rot90(S,2);
spy(A)

A является сингулярным, поскольку строки являются линейно зависимыми. Например, sum(A) создает вектор нулей.

Вычислить определитель A.

d = det(A)

d = 1.0597e+05

Определитель A достаточно велик, несмотря на то, что A является единственным. Фактически, определяющий фактор A должно быть ровно равно нулю! Неточность d происходит из-за агрегирования ошибок округления в реализации MATLAB ® декомпозиции LU, котораяdet используется для вычисления определителя. Этот результат демонстрирует несколько важных аспектов вычисления числовых определителей. Дополнительные сведения см. в разделе Ограничения.