Exponenta Banner
exponenta event banner

Уравнения, которые можно решить с помощью панели инструментов PDE

Дифференциальное уравнение в частных производных Toolbox™ решает скалярные уравнения вида

m∂2u∂t2+d∂u∂t−∇ · (c∇u) +au=f

и уравнения собственных значений формы

−∇· (c∇u) +au=λduor−∇· (c∇u) + au = λ 2mu

Для скалярных PDE существует два варианта граничных условий для каждой кромки или грани:

  • Дирихле - на ребре или грани решение u удовлетворяет уравнению

    hu = r,

    где h и r могут быть функциями пространства (x, y и, в 3-D случае, z), решения u и времени. Часто вы берете h = 1 и устанавливаете r в соответствующее значение.

  • Обобщенные граничные условия Неймана - на ребре или грани решение u удовлетворяет уравнению

    n → · (c∇u) +qu=g

    n→ - нормальный внешний блок. q и g являются функциями, определенными для ∂Ω, и могут быть функциями x, y и, в 3-D случае, z, решения u и, для зависящих от времени уравнений, времени.

Панель инструментов также решает системы уравнений формы

m∂2u∂t2+d∂u∂t−∇ · (c ⊗∇ u) +au=f

и системы собственных значений формы

−∇· (c⊗∇u) +au=λduor−∇· (c⊗∇u) + au = λ 2mu

Система PDE с N компонентами представляет собой N связанных PDE со связанными граничными условиями. Скалярные PDE - это те, у которых N = 1, что означает только один PDE. Системы PDE обычно означают N > 1. В документации иногда упоминаются системы как многомерные PDE или как PDE с векторным решением u. Во всех случаях системы PDE имеют единую геометрию и сетку. Только N, число уравнений, может изменяться.

Коэффициенты m, d, c, a и f могут быть функциями местоположения (x, y и, в 3-D, z), и, за исключением задач собственных значений, они также могут быть функциями решения u или его градиента. Для задач собственного значения коэффициенты не могут зависеть от решения u или его градиент.

Для скалярных уравнений все коэффициенты, кроме c, являются скалярными. Коэффициент c представляет матрицу 2 на 2 в 2-D геометрии или матрицу 3 на 3 в 3-D геометрии. Для систем уравнений N, коэффициенты m, d, и матриц N на Н, f - вектор N-1, и c - тензор 2N на 2N (2-я геометрия) или тензор 3N на 3N (3D геометрия). Для значения c⊗u см. c Коэффициент для specifyCoefficients.

Когда m и d равны 0PDE неподвижен. Когда m или d ненулевые, проблема зависит от времени. Когда любой коэффициент зависит от решения u или его градиента, задача называется нелинейной.

Для систем PDE существуют обобщённые версии граничных условий Дирихле и Неймана:

  • hu = r представляет матрицу h, умножающую вектор раствора u и равную вектору r.

  • n· (c⊗∇u) + (= g. Для 2-D систем обозначение n· (c⊗∇u) означает N-by-1 матрицу с (i, 1) -компонентом

    ∑j=1N (cos (α) ci,j,1,1∂∂x+cos (α) ci,j,1,2∂∂y+sin (α) ci,j,2,1∂∂x+sin (α) ci,j,2,2∂∂y) uj

    где вектор внешней нормали границы n = (cos (α), sin (α)).

    Для 3-D систем обозначение n· (c⊗∇u) означает вектор N-by-1 с (i, 1) -компонентом

    ∑j=1N (грех (φ), потому что (θ) ci, j, 1,1 ∂∂ x+sin (φ), потому что (θ) ci, j, 1,2 ∂∂ y+sin (φ), потому что (θ) ci, j, 1,3 ∂∂ z) uj + ∑ j=1N (грех (φ) грех (θ) ci, j, 2,1 ∂∂ x+sin (φ) грех (θ) ci, j, 2,2 ∂∂ y+sin (φ) грех (θ) ci, j, 2,3 ∂∂ z) uj + ∑ j=1N (cos (θ) ci, j, 3,1 ∂∂ x+cos (θ) ci, j, 3,2 ∂∂ y+cos (θ) ci, j, 3,3 ∂∂ z) uj

    где внешний нормальный вектор границы n = (грех (φ), потому что (θ), грех (φ) грех (θ), потому что (φ)).

    Для каждой кромки или сегмента грани имеется в общей сложности N граничных условий.

Связанные темы

Документация по набору инструментов для дифференциальных уравнений в частных производных

Поддержка