Как объясняется в уравнениях, которые можно решить с помощью инструментария PDE, дифференциальное уравнение в частных производных Toolbox™ решатели адресуют уравнения формы
au = f
или варианты, имеющие производные относительно времени, или имеющие собственные значения, или являющиеся системами уравнений. Эти уравнения находятся в форме дивергенции, где дифференциальный оператор начинается ·. Коэффициенты a, c и f являются функциями положения (x, y, z) и, возможно, решения u.
Однако можно иметь уравнения в форме со всеми явно развернутыми производными, такими как
2∂2u∂y2=0
Чтобы преобразовать это расширенное уравнение в требуемую форму, можно попытаться сопоставить коэффициенты уравнения в форме дивергенции с расширенной формой. В форме расхождения, если
c1c3c2c4)
тогда
(∂c3∂x+∂c4∂y) uy
Совпадение коэффициентов в слагаемых uxx и uyy в ) с уравнением, вы получаете
Затем, глядя на коэффициенты ux и uy, которые должны быть равны нулю, вы получаете
=∂c3∂x−ysoc3=xy
Это завершает преобразование уравнения в форму дивергенции
= 0
c коэффициент появляется в обобщенном условии Неймана
+qu=g
Таким образом, когда вы выводите форму расхождения c коэффициент, имейте в виду, что этот коэффициент появляется в другом месте.
Например, рассмотрите 2-е уравнение Пуассона-uxx - uyy = f. Очевидно, Вы можете взять c = 1. Но есть и другие матрицы c, которые приводят к тому же уравнению: любые, которые имеют c (2 ) + c ( 3) = 0.
c4uyy + (c2 + c3) uxy
Таким образом, существует свобода в выборе матрицы c. При наличии граничного условия Неймана, например
=2
граничное условие зависит от используемой версии c. В этом случае убедитесь, что взята версия c, совместимая как с уравнением, так и с граничным условием.
Дифференциальное уравнение в частных производных можно преобразовать в требуемую форму с помощью символьных математических Toolbox™. Панель инструментов предлагает следующие две функции, помогающие в преобразовании:
pdeCoefficients (Символьная математическая панель инструментов) преобразует PDE в требуемую форму и извлекает коэффициенты в структуру чисел с двойной точностью и дескрипторов функций, которые могут использоваться specifyCoefficients. pdeCoefficients функция также может возвращать структуру символьных выражений, в этом случае необходимо преобразовать эти выражения в двойной формат, прежде чем передавать их в specifyCoefficients.
pdeCoefficientsToDouble(Панель инструментов «Символьная математика») преобразует символьные коэффициенты PDE в двойной формат.
Функция «Решить дифференциальное уравнение в частных производных нелинейной теплопередачи» (панель символьных математических элементов) показывает, как функции панели символьных математических элементов могут помочь преобразовать PDE в требуемую форму. Нелинейный перенос тепла в тонкой пластине (Non linear Heat Transfer in Thin Plate) показывает тот же пример без использования инструментария символьной математики.
Иногда невозможно найти преобразование в форму дивергенции, такую как
au = f
Например, рассмотрим уравнение
4∂2u∂x∂y+12∂2u∂y2=0
При простом согласовании коэффициентов можно увидеть, что коэффициенты c1 и c4 равны -1 и -1/2 соответственно. Однако нет c2 и c3, удовлетворяющих остальным уравнениям,
4∂c1∂x+∂c2∂y=∂c2∂y=0∂c3∂x+∂c4∂y=∂c3∂x=0