Сферические координаты

Поддержка сферических координат

Сферические координаты описывают вектор или точку в пространстве с расстоянием и двумя углами. Расстояние, R, является обычной евклидовой нормой. Существует несколько соглашений относительно спецификации двух углов. К ним относятся:

Азимут и углы места
Углы Phi и theta
Координаты u и v

Программное обеспечение Phased Array System Toolbox™ изначально поддерживает представление азимута/отметки. Программа также предоставляет функции для преобразования между представлением азимута/отметки и другими представлениями. См. углы Phi и Theta и координаты U и V.

Азимут и углы отметки

В программном обеспечении Phased Array System Toolbox преобладающим соглашением для сферических координат является следующее:

Угол азимута, az и угол места, el, используются для определения местоположения точки на сфере единицы измерения.
Укажите все углы в градусах.
Перечислите координаты в последовательности (az, el, R).

Азимутальный угол вектора - это угол между осью x и ортогональной проекцией вектора на плоскость xy. Угол положителен в направлении от оси x к оси y. Азимутальные углы лежат между -180 и 180 градусами. Угол места - это угол между вектором и его ортогональной проекцией на плоскость xy. При переходе к положительной оси Z от плоскости xy угол является положительным. По умолчанию направление визирования элемента или массива выравнивается по положительной оси X. Направление визирования - это направление главного лепестка элемента или массива.

Примечание

Иногда угол возвышения определяется в литературе как угол вектора с положительной осью z. В продуктах MATLAB ® и Phased Array System Toolbox это определение не используется.

Этот рисунок иллюстрирует азимутальный угол и угол возвышения для вектора, показанного зеленой сплошной линией.

Углы Фи и Тета

В качестве альтернативы азимуту и углам возвышения можно использовать углы, обозначаемые для выражения местоположения точки на единичной сфере. Для преобразования представления, соответствующего азимуту/отметке, используйте функции преобразования координат. phitheta2azel и azel2phitheta.

Угол фи - это угол от положительной оси y до ортогональной проекции вектора на плоскость yz. Угол положителен к положительной оси Z. Угол фи находится в диапазоне от 0 до 360 градусов. Theta angle (start) - это угол от оси X до самого вектора. Угол положителен к плоскости yz. Угол тета находится в диапазоне от 0 до 180 градусов.

Рисунок иллюстрирует фи и тета для вектора, который выглядит как зеленая сплошная линия.

Координатные преобразования между start/startи az/el описываются следующими уравнениями

$\begin{array}{l} sinel=sinϕsinθtanaz=cosϕtanθcosθ = \\ coselcosaztanϕ = tanel/sinaz \end{array}$

Координаты U и V

В радиолокационных приложениях часто полезно параметризовать полусферу x ≥ 0 с помощью координат, обозначенных u и v.

Чтобы преобразовать представление, соответствующее u/v, в и из него, используйте функции преобразования координат. phitheta2uv и uv2phitheta.
Для преобразования представления азимута/отметки в соответствующее u/v представление и из него используйте функции преобразования координат azel2uv и uv2azel.

Вы можете определить u и v в терминах

$\begin{array}{l} u = \\ sinü cosstartv = \end{array}$ sinstart

В этих выражениях λ и λ являются углами phi и theta соответственно.

По азимуту и отметке координаты u и v равны

$\begin{array}{l} u = \\ coselsinazv = \end{array}$ sinel

Значения u и v удовлетворяют неравенствам

$\begin{array}{l} ^{}^{} −1≤u≤1−1≤v≤1u2+v2≤1 \end{array}$

И наоборот, углы phi и theta могут быть записаны в терминах u и v с использованием

$\begin{array}{l} tanü = \\ \sqrt{{v/usinü}^{} =^{}} \end{array}$ u2 + v2

Азимут и углы возвышения также могут быть записаны в виде u и v:

$\begin{array}{l} sinel = \\ \frac{vtanaz}{\sqrt{=^{} u1^{−}}} \end{array}$ u2 − v2

Преобразование между прямоугольными и сферическими координатами

Следующие уравнения определяют взаимосвязи между прямоугольными координатами и представлением (az, el, R), используемым в программном обеспечении Phased Array System Toolbox.

Для преобразования прямоугольных координат в (az, el, R):

$\begin{array}{l} R \sqrt{=^{} {x2}^{} +^{}} \\ y2 +^{z2az} = \\ \tan - 1^{(} y/x) \sqrt{^{} el^{=}} \end{array}$ tan − 1 (z/x2 + y2)

Для преобразования (az, el, R) в прямоугольные координаты:

$\begin{array}{l} x = Rcos (el) cos \\ (az) y = Rcos ( \\ el) \sin (az \end{array}$ ) z = Rsin (el)

При указании местоположения цели по отношению к фазированной решетке обычно ссылаются на ее расстояние и направление от матрицы. Расстояние от массива соответствует R в сферических координатах. Направление соответствует углам азимута и места.

Совет

Для преобразования между прямоугольными координатами и (az, el, R) используйте функции MATLABcart2sph и sph2cart. Эти функции определяют углы в радианах. Для преобразования между градусами и радианами используйте deg2rad и rad2deg.

Широкополосные углы

Широкополосные углы полезны при описании отклика однородного линейного массива (ULA). Отклик массива зависит непосредственно от широтного угла, а не от азимута и угла возвышения. Начните с ULA и нарисуйте плоскость, ортогональную оси ULA, как показано синим цветом на рисунке. Широкополосный угол β - это угол между плоскостью и направлением сигнала. Чтобы вычислить широкополосный угол, создайте линию из любой точки на пути сигнала к плоскости, ортогональной плоскости. Угол между этими двумя линиями является широкополосным углом и лежит в интервале [-90 °, 90 °]. Широкополосный угол является положительным при измерении в направлении положительного направления оси матрицы. Ноль градусов указывает путь сигнала, ортогональный оси массива. ± 90 ° указывает пути вдоль оси массива. Все сигнальные пути, имеющие одинаковый широкополосный угол, образуют конус вокруг оси ULA.

Преобразование из азимутального угла, az, и угла места, el, в широкополосный угол, β, составляет

$β =^{sin} − 1 (sin (az)$ cos (el))

Это уравнение показывает, что

Для нулевого угла возвышения угол ширины равен азимутальному углу.
Углы возвышения, одинаково расположенные над и под плоскостью xy, приводят к одинаковым углам ширины.

Можно преобразовать из угла ширины в угол азимута, но необходимо указать угол возвышения

$az =^{sin} \frac{− 1}{(} sinβcos$ (el))

Поскольку пути сигналов для данного широкополосного угла β образуют конус вокруг оси массива, угол возвышения нельзя задать произвольно. Угол возвышения и широкий угол должны удовлетворять

$|el|+|β|≤90$

На следующем рисунке показана ULA с элементами, расположенными на расстоянии d метров вдоль оси y. ULA облучается плоской волной, излучаемой точечным источником в дальнем поле. Для удобства угол возвышения равен нулю градусов. В этом случае направление сигнала лежит в плоскости xy. Затем широкополосный угол уменьшается до азимутального угла.

Из-за угла прихода элементы матрицы не одновременно освещаются плоской волной. Дополнительное расстояние, которое падающая волна проходит между элементами матрицы, равно d sinβ, где d - расстояние между элементами матрицы. Постоянная временная задержка, τ, между элементами множества

$start= \frac{}{}$ dsinβc,

где c - скорость волны.

Для широкополосных углов ± 90 ° сигнал падает на матрицу параллельно оси матрицы, а временная задержка между датчиками равна ± d/c. Для широкополосного угла, равного нулю, плоская волна одновременно освещает все элементы ULA, и временная задержка между элементами равна нулю.

Программное обеспечение Phased Array System Toolbox предоставляет функции az2broadside и broadside2az для преобразования между азимутом и широкими углами.

Преобразование между широкополосными углами и азимутом и отметкой

Открыть сценарий в реальном времени

В следующих примерах показано, как использовать az2broadside и broadside2az функции.

Цель расположена под азимутальным углом 45 ° и под углом возвышения 60 ° относительно ULA. Определите соответствующий широкополосный угол.

bsang = az2broadside(45,60)

bsang = 20.7048

Рассчитайте азимут для падающего сигнала, поступающего при широком угле 45 ° и отметке 20 °.

az = broadside2az(45,20)

az = 48.8063

Документация