Как алгоритм оптимизации формулирует проблемы минимизации

При оптимизации параметров модели Simulink ® в соответствии с требованиями проектирования программное обеспечение Simulink Design Optimization™ автоматически преобразует требования в проблему оптимизации с ограничениями, а затем решает проблему с помощью методов оптимизации. Задача оптимизации с ограничением итеративно моделирует модель Simulink, сравнивает результаты моделирования с целями ограничения и использует методы оптимизации для корректировки настроенных параметров для лучшего выполнения задач .

В этом разделе описывается, как программное обеспечение формулирует проблему ограниченной оптимизации, используемую алгоритмами оптимизации. Для каждого алгоритма оптимизации программное обеспечение формулирует один из следующих типов задач минимизации:

Выполнимость
Отслеживание
Смешанная осуществимость и отслеживание

Дополнительные сведения о том, как каждый алгоритм оптимизации формулирует эти проблемы, см. в разделе:

Проблема выполнимости и формулирование ограничений

Выполнимость означает, что алгоритм оптимизации находит значения параметров, которые удовлетворяют всем ограничениям в пределах заданных допусков, но при этом не минимизирует какую-либо целевую функцию или функцию затрат.

На следующем рисунке x1, x3 и _xn представляют комбинацию значений параметров P1 и P2 и являются выполнимыми решениями, поскольку они не нарушают ограничение нижней границы.

В модели Simulink ограничение сигнала выполняется путем указания нижней и верхней границ в блоке Check (Проверка характеристик ответа шага,...) или объекте требования (sdo.requirements.StepResponseEnvelope,...), как показано на следующем рисунке.

Эти ограничения являются кусочно-линейными границами. Кусочно-линейная связь _ybnd с n ребрами может быть представлена как:

$_{ybnd} (t) \begin{matrix} =_{} {y1 & _{(} t)_{} \\ _{} & _{t1≤t≤t2y2} (t)_{} \\ _{} & _{} t2≤t≤t3⋮⋮yn (_{t)} \end{matrix}$ tn≤t≤tn+1,

Программа вычисляет подписанное расстояние между моделируемым ответом и краем. Подписанное расстояние для нижних границ:

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \underset{_{}_{}}{}_{}_{} \\ \underset{_{}_{c=[maxt1≤t≤t2ybnd−ysimmaxt2≤t≤t3}}{}_{}_{} \\ \underset{_{}_{}}{}_{}_{ybnd−ysimmaxtn≤t≤tn+1ybnd−ysim} \end{array}], \end{array}$

где _ysim - моделируемый отклик и является функцией оптимизируемых параметров.

Подписанное расстояние для верхних границ:

$\begin{matrix} \underset{_{}_{}}{}_{}_{} \\ \underset{_{}_{}}{}_{}_{} \\ \underset{_{}_{}}{}_{}_{c=[maxt1≤t≤t2ysim−ybndmaxt2≤t≤t3ysim−ybndmaxtn≤t≤tn+1ysim−ybnd} \end{matrix}].$

В командной строке поставляется optimFcn c непосредственно из Cleq поле vals.

Если выполняются все ограничения (c ≤ 0) для некоторой комбинации значений параметров, то это решение считается осуществимым. На следующем рисунке x1 и x3 являются возможными решениями.

Когда модель имеет несколько требований или векторных сигналов, подающих требование, вектор ограничения расширяется с нарушениями ограничения для каждого сигнала и привязывается:

$_{}_{}_{C=[c1;c2;⋯;cn}].$

Проблема отслеживания

В дополнение к нижним и верхним границам можно указать опорный сигнал в блоке «Проверка по опорным» или sdo.requirements.SignalTracking , который можно отслеживать в выходных данных модели Simulink. Цель отслеживания - это цель отслеживания суммы в квадрате ошибок.

Опорный сигнал задается как последовательность пар «время-амплитуда»:

$_{yref} (_{} треф),_{}_{}_{}_{} tref\in{Tref0,Tref1,\dots,TrefN$ }.

Программное обеспечение вычисляет смоделированный отклик как последовательность пар время-амплитуда:

$_{ysim} (_{} цим),_{}_{}_{}_{} tsim\in{Tsim0,Tsim1,\dots,TsimN$ },

где некоторые значения _tsim могут совпадать со значениями _tref.

Новая временная база, _tnew, формируется из объединения элементов _трефа и _цима. Элементы, которые не находятся в минимально-максимальном диапазоне трефа и _цима, опущены:

$_{}_{}_{tnew={t:tsim∪tref}}$

Используя линейную интерполяцию, программа вычисляет значения _yref и _ysim в точках времени в _тн, а затем вычисляет масштабированную ошибку:

$e (_{} tnew) \frac{=_{(}_{ysim (}_{tnew)} -_{} yref}{\underset{_{tnew))}}{(}_{}}$ maxtnew 'yref |.

Наконец, программное обеспечение вычисляет взвешенную интегральную квадратную ошибку:

$f=∫w (t) e^{(} t)$ 2dt.

Примечание

Вес w (t) по умолчанию равен 1. Указать другое значение веса можно только в командной строке.

Когда ваша модель имеет требования или векторные сигналы, подающие требование, цель отслеживания равна сумме индивидуальных интегральных ошибок отслеживания для каждого сигнала:

$_{F=∑fi} .$

Проблемные формулировки метода градиентного спуска

Метод градиентного спуска использует функцию fmincon для оптимизации параметров модели в соответствии с требованиями проекта.

Тип проблемы	Постановка проблемы
Проблема выполнимости	Программное обеспечение формулирует ограничение C (x), как описано в разделе «Проблема выполнимости и формулировка ограничения». Если выбран вариант максимально возможного решения (т.е. оптимизация продолжается после того, как найдено первоначальное осуществимое решение), программное обеспечение использует следующую формулировку задачи: $\begin{array}{l} \min_{[x,} γ] \\ names.t . C (x \\ ) ≤γ \underset{}{} \overset{x¯\leqx\leqx¯}{} \\ γ≤0 \end{array}$ γ представляет собой переменную слабости, которая позволяет реализовать решение с C (x) ≤ γ, а не C (x) ≤ 0. Если вариант максимально возможного решения не выбран (т.е. оптимизация завершается сразу после нахождения возможного решения), программное обеспечение использует следующую формулировку задачи: $\begin{array}{l} \underset{minx}{} 0 \\ s.t . C (x) \\ ≤0 x¯≤x≤x¯ \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$
Проблема отслеживания	Программное обеспечение формулирует цель отслеживания F (x), как описано в разделе Проблема отслеживания, и минимизирует цель отслеживания: $\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x \\ ) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯
Смешанная проблема выполнимости и отслеживания	Программное обеспечение сводит к минимуму следующую постановку проблемы: $\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x) \\ s.t . C (x) \\ ≤0 \underset{}{} x¯≤x≤x¯ \overset{}{} \end{array}$ Примечание При отслеживании опорного сигнала программное обеспечение игнорирует максимально возможный вариант решения.

Тип проблемы

Постановка проблемы

Проблема выполнимости

Программное обеспечение формулирует ограничение C (x), как описано в разделе «Проблема выполнимости и формулировка ограничения».

Если выбран вариант максимально возможного решения (т.е. оптимизация продолжается после того, как найдено первоначальное осуществимое решение), программное обеспечение использует следующую формулировку задачи:
$\begin{array}{l} \min_{[x,} γ] \\ names.t . C (x \\ ) ≤γ \underset{}{} \overset{x¯\leqx\leqx¯}{} \\ γ≤0 \end{array}$
γ представляет собой переменную слабости, которая позволяет реализовать решение с C (x) ≤ γ, а не C (x) ≤ 0.
Если вариант максимально возможного решения не выбран (т.е. оптимизация завершается сразу после нахождения возможного решения), программное обеспечение использует следующую формулировку задачи:
$\begin{array}{l} \underset{minx}{} 0 \\ s.t . C (x) \\ ≤0 x¯≤x≤x¯ \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$

Проблема отслеживания

Программное обеспечение формулирует цель отслеживания F (x), как описано в разделе Проблема отслеживания, и минимизирует цель отслеживания:

$\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x \\ ) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯

Смешанная проблема выполнимости и отслеживания

Программное обеспечение сводит к минимуму следующую постановку проблемы:

$\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x) \\ s.t . C (x) \\ ≤0 \underset{}{} x¯≤x≤x¯ \overset{}{} \end{array}$

Примечание

При отслеживании опорного сигнала программное обеспечение игнорирует максимально возможный вариант решения.

Проблемные формулировки метода простого поиска

Метод Simplex Search использует функцию fminsearch и fminbnd для оптимизации параметров модели в соответствии с требованиями проекта. fminbnd используется при оптимизации одного скалярного параметра, в противном случае fminsearch используется. Нельзя использовать границы параметров, $\underset{}{} \overset{x¯\leqx\leqx¯}{}$ с fminsearch.

Тип проблемы	Постановка проблемы
Проблема выполнимости	Программное обеспечение формулирует ограничение C (x), как описано в разделе Выполнимость проблемы и формулирование ограничения, а затем минимизирует максимальное нарушение ограничения: $\underset{minx}{} max (C (x$ ))
Проблема отслеживания	Программное обеспечение формулирует цель отслеживания F (x), как описано в разделе Проблема отслеживания, и затем минимизирует цель отслеживания: $\underset{minx}{} F (x$ )
Смешанная проблема выполнимости и отслеживания	Программное обеспечение формулирует проблему в два этапа: Поиск выполнимого решения. $\underset{minx}{} max (C (x$ )) Минимизирует цель отслеживания. Программное обеспечение использует результаты, полученные на этапе 1, в качестве первоначальных предположений и поддерживает осуществимость путем введения прерывистого барьера в цель оптимизации. $\begin{array}{l} \underset{minx}{} Γ (x), \\ где Γ (x) \begin{array}{l} ={\inftyifmax (C ( \\ x)) & > 0F (x) \end{array} \end{array}$ в противном случае.

Тип проблемы

Постановка проблемы

Проблема выполнимости

Программное обеспечение формулирует ограничение C (x), как описано в разделе Выполнимость проблемы и формулирование ограничения, а затем минимизирует максимальное нарушение ограничения:

$\underset{minx}{} max (C (x$ ))

Проблема отслеживания

Программное обеспечение формулирует цель отслеживания F (x), как описано в разделе Проблема отслеживания, и затем минимизирует цель отслеживания:

$\underset{minx}{} F (x$ )

Смешанная проблема выполнимости и отслеживания

Программное обеспечение формулирует проблему в два этапа:

Поиск выполнимого решения.
$\underset{minx}{} max (C (x$ ))
Минимизирует цель отслеживания. Программное обеспечение использует результаты, полученные на этапе 1, в качестве первоначальных предположений и поддерживает осуществимость путем введения прерывистого барьера в цель оптимизации.
$\begin{array}{l} \underset{minx}{} Γ (x), \\ где Γ (x) \begin{array}{l} ={\inftyifmax (C ( \\ x)) & > 0F (x) \end{array} \end{array}$ в противном случае.

Проблемные формулировки метода поиска шаблонов

Метод Pattern Search использует функцию patternsearch(Панель инструментов глобальной оптимизации) для оптимизации параметров модели в соответствии с требованиями проекта.

Тип проблемы	Постановка проблемы
Проблема выполнимости	Программное обеспечение формулирует ограничение C (x), как описано в разделе Выполнимость проблемы и формулирование ограничения, а затем минимизирует максимальное нарушение ограничения: $\begin{array}{l} \underset{minx}{} max (C (x \\ )) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯
Проблема отслеживания	Программное обеспечение формулирует цель отслеживания F (x), как описано в разделе Проблема отслеживания, и затем минимизирует цель отслеживания: $\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x) \\ s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯
Смешанная проблема выполнимости и отслеживания	Программное обеспечение формулирует проблему в два этапа: Поиск выполнимого решения. $\begin{array}{l} \underset{minx}{} max (C (x \\ )) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯ Минимизирует цель отслеживания. Программное обеспечение использует результаты, полученные на этапе 1, в качестве первоначальных предположений и поддерживает осуществимость путем введения прерывистого барьера в цель оптимизации. $\begin{array}{l} \underset{}{} minxΓ (x \\ ) s.t \underset{}{.} \overset{}{} \\ x¯≤x≤x¯whereΓ (x \begin{array}{l} ) & ={∞ifmax (C \\ (x)) & > 0F (x) \end{array} \end{array}$ в противном случае.

Тип проблемы

Постановка проблемы

Проблема выполнимости

$\begin{array}{l} \underset{minx}{} max (C (x \\ )) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯

Проблема отслеживания

$\begin{array}{l} \underset{minx}{} F (x) \\ s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯

Смешанная проблема выполнимости и отслеживания

Программное обеспечение формулирует проблему в два этапа:

Поиск выполнимого решения.
$\begin{array}{l} \underset{minx}{} max (C (x \\ )) s.t . \underset{}{} \overset{}{} \end{array}$ x¯≤x≤x¯
Минимизирует цель отслеживания. Программное обеспечение использует результаты, полученные на этапе 1, в качестве первоначальных предположений и поддерживает осуществимость путем введения прерывистого барьера в цель оптимизации.
$\begin{array}{l} \underset{}{} minxΓ (x \\ ) s.t \underset{}{.} \overset{}{} \\ x¯≤x≤x¯whereΓ (x \begin{array}{l} ) & ={∞ifmax (C \\ (x)) & > 0F (x) \end{array} \end{array}$ в противном случае.

Вычисления градиента

Для Gradient descent (fmincon) решатель оптимизации, градиенты вычисляются с использованием численного возмущения:

$\begin{array}{l} dx \sqrt[]{=} eps3 × max \frac{(}{|} x_{|,} \\ 110xtypical) dL =_{} max \\ (x - dx,_{xmin)} \\ {dR}_{} = min (x + \\ {dx}_{,} xmax) FL = \\ \frac{}{opt}_\frac{_{} fcn_{(}}{dL) FR =} \end{array}$ opt _ fcn (dR) dFdx = (FL − FR)

x является скалярной конструктивной переменной.
_xmin - нижняя граница x.
_xmax - верхняя граница x.
_xtypical - масштабированное значение x.
opt_fcn - это целевая функция.

dx относительно велик для соответствия допускам вычислителя моделирования.

Если требуется вычислить градиенты каким-либо другим способом, это можно сделать в функции затрат, написанной для программной оптимизации конструкции. Посмотрите sdo.optimize и GradFcn из sdo.OptimizeOptions для получения дополнительной информации.

Документация