Найти минимум ограниченной нелинейной многовариантной функции
Решатель нелинейного программирования.
Находит минимум проблемы, указанный в
=0A⋅x≤bAeq⋅x=beqlb≤x≤ub,
b и beq являются векторами, A и Aeq являются матрицами, c (x) и ceq (x) являются функциями, которые возвращают векторы, и f (x) является функцией, которая возвращает скаляр. f (x), c (x) и ceq (x) могут быть нелинейными функциями.
x, lb и ub могут быть переданы в виде векторов или матриц; см. Аргументы матрицы.
x = fmincon(fun,x0,A,b)x0 и пытается найти минимизатор x функции, описанной в fun с учетом линейных неравенств A*x ≤ b. x0 может быть скаляром, вектором или матрицей.
Примечание
В разделе Передача дополнительных параметров (Passing Extra Parameters) объясняется, как передать дополнительные параметры целевой функции и, при необходимости, нелинейным функциям ограничения.
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x, чтобы решение всегда находилось в диапазоне lb ≤ x ≤ ub. Если равенства отсутствуют, установите Aeq = [] и beq = []. Если x(i) не ограничен ниже, набор lb(i) = -Inf, и если x(i) не ограничен выше, набор ub(i) = Inf.
Примечание
Если указанные входные границы для проблемы противоречивы, fmincon выдает ошибку. В этом случае вывод x является x0 и fval является [].
Для значения по умолчанию 'interior-point' алгоритм, fmincon наборы компонентов x0 которые нарушают границы lb ≤ x ≤ ub, или равны границе, внутренней части связанной области. Для 'trust-region-reflective' алгоритм, fmincon устанавливает нарушающие компоненты во внутреннюю часть связанной области. Для других алгоритмов fmincon устанавливает нарушающие компоненты в ближайшую границу. Компоненты, соответствующие границам, не изменяются. См. раздел Итерации могут нарушать ограничения.
Найдите минимальное значение функции Розенброка при наличии линейного ограничения неравенства.
Установка целевой функции fun быть функцией Розенброка. Хорошо известно, что функцию Розенброка трудно минимизировать. Его минимальное целевое значение равно 0 в точке (1,1). Дополнительные сведения см. в разделе Решение ограниченной нелинейной проблемы на основе решателя.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Найти минимальное значение, начиная с точки [-1,2], ограничено ≤1 x (1) + 2x (2). Выразить это ограничение в формеAx <= b взяв A = [1,2] и b = 1. Обратите внимание, что это ограничение означает, что решение не будет находиться в неограниченном решении (1,1), поскольку в этой точке = 3 > 1.
x0 = [-1,2]; A = [1,2]; b = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.5022 0.2489
Найдите минимальное значение функции Розенброка, если есть и линейное ограничение неравенства, и линейное ограничение равенства.
Установка целевой функции fun быть функцией Розенброка.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Найти минимальное значение, начиная с точки [0.5,0], ограничено наличием 2) ≤1 + x (2) = 1.
Выражение линейного ограничения неравенства в форме A*x <= b взяв A = [1,2] и b = 1.
Выражение ограничения линейного равенства в форме Aeq*x = beq взяв Aeq = [2,1] и beq = 1.
x0 = [0.5,0]; A = [1,2]; b = 1; Aeq = [2,1]; beq = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.4149 0.1701
Найдите минимум целевой функции при наличии ограничивающих ограничений.
Целевая функция является простой алгебраической функцией двух переменных.
fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
Посмотрите на область, где имеет положительные значения, 1 и 2.
lb = [0,0]; ub = [1,2];
Проблема не имеет линейных ограничений, поэтому установите эти аргументы в [].
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
Попробуйте начальную точку в середине региона.
x0 = (lb + ub)/2;
Решите проблему.
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
Другая начальная точка может привести к другому решению.
x0 = x0/5; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
Чтобы определить, какое решение лучше, см. раздел Получение значения целевой функции.
Найти минимум функции, подверженной нелинейным ограничениям
Найдите точку, в которой функция Розенброка минимизирована в пределах круга, также подверженного ограничениям.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
Загляни в регион
,.
lb = [0,0.2]; ub = [0.5,0.8];
Также посмотрите в окружность с центром [1/3,1/3] с радиусом 1/3. Скопируйте следующий код в файл по пути MATLAB ® circlecon.m.
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [c,ceq] = circlecon(x) c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2; ceq = [];
Нет линейных ограничений, поэтому задайте для этих аргументов значение [].
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
Выберите начальную точку, удовлетворяющую всем ограничениям.
x0 = [1/4,1/4];
Решите проблему.
nonlcon = @circlecon; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.5000 0.2500
Задайте опции для просмотра итераций по мере их появления и использования другого алгоритма.
Наблюдение за fmincon процесс решения, установите Display опция для 'iter'. Также попробуйте 'sqp' алгоритм, который иногда быстрее или точнее, чем по умолчанию 'interior-point' алгоритм.
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
Найдите минимум функции Розенброка на диске устройства,. 
Сначала создайте функцию, представляющую нелинейное ограничение. Сохранить как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы. Затем выполнить fmincon.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; nonlcon = @unitdisk; x0 = [0,0]; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order
step optimality
0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00
1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01
2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01
3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00
4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01
5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00
6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00
7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00
8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00
9 46 5.901601e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01
10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01
11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03
12 55 4.567481e-02 4.406e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05
13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.203e-12 1.406e-05
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
Включить оценку градиента в целевую функцию для более быстрых или надежных вычислений.
Включите оценку градиента как условный вывод в файл целевой функции. Дополнительные сведения см. в разделе Включение градиентов и гессенов. Целевой функцией является функция Розенброка,
который имеет градиент
![$$\nabla f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 400\left( {{x_2} - x_1^2} \right){x_1} - 2\left( {1 - {x_1}} \right)}\\
{200\left( {{x_2} - x_1^2} \right)}
\end{array}} \right].$$](../../examples/optim/win64/IncludeGradientExample_eq09200576097084404414.png)
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end
Сохранить этот код как файл с именем rosenbrockwithgrad.m на пути MATLAB ®.
Создайте параметры для использования градиента целевой функции.
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);
Создайте другие входные данные для проблемы. Затем позвоните fmincon.
fun = @rosenbrockwithgrad; x0 = [-1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = [-2,-2]; ub = [2,2]; nonlcon = []; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
1.0000 1.0000
Решите ту же задачу, что и в опциях Nondefault, используя структуру задачи вместо отдельных аргументов.
Создайте параметры и структуру проблемы. Имена полей и обязательные поля см. в разделе «Проблема».
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp'); problem.options = options; problem.solver = 'fmincon'; problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; problem.x0 = [0,0];
Функция нелинейных ограничений unitdisk появляется в конце этого примера. Включить функцию нелинейных ограничений в problem.
problem.nonlcon = @unitdisk;
Решите проблему.
x = fmincon(problem)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order
step optimality
0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00
1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01
2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01
3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00
4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01
5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00
6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00
7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00
8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00
9 46 5.901601e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01
10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01
11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03
12 55 4.567481e-02 4.406e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.501e-05
13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.159e-09 1.511e-05
Local minimum possible. Constraints satisfied.
fmincon stopped because the size of the current step is less than
the value of the step size tolerance and constraints are
satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
Итеративный дисплей и решение такие же, как в опциях Nondefault.
Следующий код создает unitdisk функция.
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = []; end
Звонить fmincon с fval вывод для получения значения целевой функции в решении.
В примере Свернуть с ограничивающими ограничениями (Minimize with Bound Constraints) показаны два решения. Что лучше? Выполните пример, запрашивающий fval выход, а также решение.
fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1)); lb = [0,0]; ub = [1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; x0 = (lb + ub)/2; [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
fval = -0.6667
Запустить проблему с другой начальной точкой x0.
x0 = x0/5; [x2,fval2] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x2 = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
fval2 = 1.0000
Это решение имеет значение целевой функции fval2 = 1, что выше первого значения fval = –0.6667. Первое решение x имеет меньшее значение локальной минимальной целевой функции.
Чтобы легко проверить качество решения, запросите exitflag и output выходы.
Настройте задачу минимизации функции Розенброка на диске устройства,. 
Сначала создайте функцию, представляющую нелинейное ограничение. Сохранить как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
Звонить fmincon с использованием fval, exitflag, и output выходы.
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
fval =
0.0457
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 24
funcCount: 84
constrviolation: 0
stepsize: 6.9162e-06
algorithm: 'interior-point'
firstorderopt: 2.4373e-08
cgiterations: 4
message: '...'
bestfeasible: [1x1 struct]
exitflag стоимость 1 указывает, что решение является локальным минимумом.
output структура выводит несколько статистических данных о процессе решения. В частности, он даёт количество итераций в output.iterations, количество оценок функций в output.funcCountи осуществимость в output.constrviolation.
fmincon дополнительно возвращает несколько выходных данных, которые можно использовать для анализа сообщаемого решения.
Настройте задачу минимизации функции Rosenbrock на диске устройства. Сначала создайте функцию, представляющую нелинейное ограничение. Сохранить как файл с именем unitdisk.m на пути MATLAB ®.
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
Создайте оставшиеся спецификации проблемы.
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
Запросить все fmincon выходы.
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.
Optimization completed because the objective function is non-decreasing in
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x =
0.7864 0.6177
fval =
0.0457
exitflag =
1
output =
struct with fields:
iterations: 24
funcCount: 84
constrviolation: 0
stepsize: 6.9162e-06
algorithm: 'interior-point'
firstorderopt: 2.4373e-08
cgiterations: 4
message: '...'
bestfeasible: [1x1 struct]
lambda =
struct with fields:
eqlin: [0x1 double]
eqnonlin: [0x1 double]
ineqlin: [0x1 double]
lower: [2x1 double]
upper: [2x1 double]
ineqnonlin: 0.1215
grad =
-0.1911
-0.1501
hessian =
497.2903 -314.5589
-314.5589 200.2392
lambda.ineqnonlin результат показывает, что нелинейное ограничение активно в решении, и дает значение связанного множителя Лагранжа.
grad выходные данные дают значение градиента целевой функции в решении x.
hessian выход описан в fmincon Hessian.
fmincon - метод на основе градиента, предназначенный для работы над проблемами, в которых функции цели и ограничения являются непрерывными и имеют непрерывные первые производные.
Для 'trust-region-reflective' алгоритм, необходимо указать градиент в fun и установите 'SpecifyObjectiveGradient' опция для true.
'trust-region-reflective' алгоритм не допускает равных верхних и нижних границ. Например, если lb(2)==ub(2), fmincon дает следующую ошибку:
Equal upper and lower bounds not permitted in trust-region-reflective algorithm. Use either interior-point or SQP algorithms instead.
Есть два различных синтаксиса для прохождения гессена, и есть два разных синтаксиса для прохождения HessianMultiplyFcn функция; один для trust-region-reflective, и еще один для interior-point. Смотрите «Включая гессенов.»
Для trust-region-reflective, гессен лагранжиана такой же, как гессен объективной функции. Вы передаете этот гессен как третий вывод целевой функции.
Для interior-point, гессен лагранжиана включает в себя множители Лагранжа и гессенов нелинейных функций ограничения. Вы передаете гессен как отдельную функцию, которая учитывает обе текущие точки x и структуру множителя Лагранжа lambda.
Когда проблема неосуществима, fmincon пытается минимизировать максимальное значение ограничения.
Задача «Оптимизировать интерактивный редактор» обеспечивает визуальный интерфейс для fmincon.
[1] Бэрд, R. H., Дж. К. Гильберт и Дж. Носедэл. «Метод доверительной области, основанный на методах внутренних точек для нелинейного программирования». Математическое программирование, том 89, № 1, 2000, стр. 149-185.
[2] Берд, Р. Х., Мэри Э. Хрибар и Хорхе Нокедаль. «Алгоритм внутренней точки для крупномасштабного нелинейного программирования». Журнал СИАМ по оптимизации, том 9, № 4, 1999, стр. 877-900.
[3] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. «Подход» Внутренняя область, область доверия «для нелинейной минимизации с учетом ограничений». Журнал СИАМ по оптимизации, том 6, 1996, стр. 418-445.
[4] Коулман, Т. Ф. и Я. Ли. «О сходимости отражающих методов Ньютона для масштабной нелинейной минимизации, зависящей от границ». Математическое программирование, том 67, номер 2, 1994, стр. 189-224.
[5] Жабры, P. E., В. Мюррей и М. Х. Райт. Практическая оптимизация, Лондон, Академическая пресса, 1981 год.
[6] Хан, С. П. «Глобально конвергентный метод нелинейного программирования». Журнал теории и приложений оптимизации, том 22, 1977, стр. 297.
[7] Пауэлл, М. Дж. Д. «Быстрый алгоритм для нелинейно ограниченных вычислений оптимизации». Численный анализ, ред. Г. А. Уотсон, лекционные записки по математике, Спрингер-Верлаг, т. 630, 1978.
[8] Пауэлл, М. Дж. Д. «Сходимость методов переменной метрики для нелинейно ограниченных вычислений оптимизации». Нелинейное программирование 3 (О. Л. Мангасариан, Р. Р. Мейер, и С. М. Робинсон, ред.), Академическая пресса, 1978.
[9] Вальс, Р. А., Дж. Л. Моралес, Дж. Нокедаль и Д. Орбан. «Внутренний алгоритм нелинейной оптимизации, объединяющий этапы поиска строк и области доверия». Математическое программирование, том 107, № 3, 2006, стр. 391-408.
fminbnd | fminsearch | fminunc | Оптимизировать | optimoptions