Функция плотности вероятности для распределения экстремальных значений с параметром местоположения,
x−μσ))
Эта форма функции плотности вероятности подходит для моделирования минимального значения. Для моделирования максимального значения используйте отрицательное значение исходных значений.
Если T имеет распределение Вейбулла с параметрами a и b, то log T имеет крайнее распределение значений с параметрами start= log a и λ = 1/b.
Экстремальные распределения значений часто используются для моделирования наименьшего или наибольшего значения среди большого набора независимых, одинаково распределенных случайных значений, представляющих измерения или наблюдения. Распределение экстремальных значений подходит для моделирования наименьшего значения из распределения, хвосты которого распадаются экспоненциально быстро, например, нормального распределения. Он также может моделировать наибольшее значение из распределения, например нормальное или экспоненциальное распределение, используя отрицательное значение исходных значений.
Например, следующее соответствует распределению экстремальных значений минимальным значениям, взятым в 1000 наборах 500 наблюдений из нормального распределения.
rng default; % For reproducibility xMinima = min(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMinima = evfit(xMinima); y = linspace(-5,-1.5,1001); histogram(xMinima,-4.75:.25:-1.75); p = evpdf(y,paramEstsMinima(1),paramEstsMinima(2)); line(y,.25*length(xMinima)*p,'color','r')
Следующее соответствует распределению экстремальных значений максимальным значениям в каждом наборе наблюдений.
rng default; % For reproducibility xMaxima = max(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMaxima = evfit(-xMaxima); y = linspace(1.5,5,1001); histogram(xMaxima,1.75:.25:4.75); p = evpdf(-y,paramEstsMaxima(1),paramEstsMaxima(2)); line(y,.25*length(xMaxima)*p,'color','r')
Хотя распределение экстремальных значений чаще всего используется в качестве модели для экстремальных значений, его также можно использовать в качестве модели для других типов непрерывных данных. Например, распределение экстремальных значений тесно связано с распределением Вейбулла. Если T имеет распределение Вейбулла, затем log(T) имеет распределение крайних значений типа 1.
Функция evfit возвращает оценки максимального правдоподобия (MLE) и доверительные интервалы для параметров распределения экстремальных значений. В следующем примере показано, как подогнать некоторые образцы данных с помощью evfit, включая оценки среднего и отклонения от установленного распределения.
Предположим, что вы хотите смоделировать размер наименьшей шайбы в каждой партии 1000 из производственного процесса. Если вы считаете, что размеры независимы внутри и между каждой партией, вы можете подогнать распределение экстремальных значений к измерениям минимального диаметра из серии из восьми экспериментальных партий. Следующий код возвращает MLE параметров распределения как parmhat и доверительные интервалы в качестве столбцов parmci.
x = [19.774 20.141 19.44 20.511 21.377 19.003 19.66 18.83]; [parmhat, parmci] = evfit(x)
parmhat = 20.2506 0.8223 parmci = 19.644 0.49861 20.857 1.3562
Эти параметры позволяют найти среднее значение и дисперсию распределения экстремальных значений с помощью функции. evstat.
[meanfit, varfit] = evstat(parmhat(1),parmhat(2))
meanfit = 19.776 varfit = 1.1123
Вычислите pdf для распределения экстремальных значений.
t = [-5:.01:2]; y = evpdf(t);
Постройте график pdf.
figure; plot(t,y)
Распределение крайних значений наклонено влево, и его общая форма остается одинаковой для всех значений параметров. Параметр местоположения, mu, сдвигает распределение вдоль вещественной линии и параметр масштаба, sigma, расширяет или заключает контракт с распределением.
Ниже представлена функция вероятности для различных комбинаций mu и sigma.
x = -15:.01:5; plot(x,evpdf(x,2,1),'-', ... x,evpdf(x,0,2),':', ... x,evpdf(x,-2,4),'-.'); legend({'mu = 2, sigma = 1', ... 'mu = 0, sigma = 2', ... 'mu = -2, sigma = 4'}, ... 'Location','NW') xlabel('x') ylabel('f(x|mu,sigma)')
