Распределение Вейбулла

Обзор

Распределение Вейбулла представляет собой двухпараметрическое семейство кривых. Это распределение названо по имени Валодди Вейбулла, который предложил его в качестве подходящего аналитического инструмента для моделирования прочности материалов на разрыв. Текущее использование также включает в себя моделирование надежности и срока службы. Распределение Вейбулла является более гибким, чем экспоненциальное распределение для этих целей, поскольку экспоненциальное распределение имеет постоянную функцию опасности.

Toolbox™ статистики и машинного обучения предлагает несколько способов работы с дистрибутивом Weibull.

Создание объекта распределения вероятностей WeibullDistribution подгонкой распределения вероятности к данным выборки (fitdistили путем указания значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции для вычисления распределения, генерации случайных чисел и т. д.
Работайте с дистрибутивом Weibull в интерактивном режиме с помощью приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Использовать специфичные для распределения функции (wblcdf, wblpdf, wblinv, wbllike, wblstat, wblfit, wblrnd, wblplot) с указанными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принимать параметры нескольких распределений Вейбулла.
Использовать общие функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с указанным именем дистрибутива ('Weibull') и параметры.

Параметры

Распределение Вейбулла использует эти параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`a`	Масштаб	a `> 0`
`b`	Форма	b `> 0`

Стандартное распределение Вейбулла имеет единичный масштаб.

Оценка параметров

Функция правдоподобия - это функция плотности вероятности (pdf), рассматриваемая как функция параметров. Оценки максимального правдоподобия (MLE) - это оценки параметров, которые максимизируют функцию правдоподобия для фиксированных значений x. Максимальные оценки правдоподобия a и b для распределения Вейбулла являются решением одновременных уравнений

$\begin{array}{l} \overset{}{a}^{= \frac{}{[} (_{1n)}^{}_{}^{\overset{}{}}}^{\frac{}{\overset{}{}}} \\ \overset{}{} \frac{}{\frac{}{\overset{\sumi=1nxib^]1b^b^=n}{}} (_{1a}^{^})_{}^{\overset{}{}}_{}_{}^{}_{}} \end{array}$ ∑i=1nxib^logxi−∑i=1nlogxi.

b и $\overset{}{b}$ являются несмещенными оценщиками параметров a и b.

Чтобы подогнать распределение Вейбулла к данным и найти оценки параметров, используйте wblfit, fitdist, или mle. В отличие от этого, wblfit и mle, которые возвращают оценки параметров, fitdist возвращает аппроксимированный объект распределения вероятности WeibullDistribution. Свойства объекта a и b сохранить оценки параметров.

Пример см. в разделе Соответствие распределения Вейбулла параметрам данных и оценки.

Функция плотности вероятности

Pdf дистрибутива Weibull:

$f (x 'a, b \frac{)}{} {= \frac{}{} ba}^{(} {xa}^{) {b -}^{}} 1e$ − (x/a) b.

Пример см. в разделе Расчет распределения Вейбулла pdf.

Функция совокупного распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения Вейбулла

$p = F (x 'a,_{b}^{)}^{}^{}^{{\frac{}{}}^{=∫0xba−btb−1e−}} (ta)^{{\frac{bdt}{} =}^{}} 1$ − e − (xa) b.

Результатом p является вероятность того, что единственное наблюдение из распределения Вейбулла с параметрами a и b падает в интервале [0 x].

Пример см. в разделе Compute Weibull Distribution cdf.

Функция обратного кумулятивного распределения

Обратный cdf распределения Вейбулла -

$x =^{F} - 1 (p 'a, {b) = - a}^{[} ln$ (1 − p)] 1/b.

Результатом x является значение, где наблюдение из распределения Вейбулла с параметрами a и b попадает в диапазон [0 x] с вероятностью p.

Функция опасности

Функция опасности (мгновенная частота отказов) представляет собой соотношение pdf и дополнения cdf. Если f (t) и F (t) являются pdf и cdf распределения, то коэффициент опасности $равен h (\frac{t) =}{f (t)}$ 1 − F (t). Подстановка pdf и cdf экспоненциального распределения для f (t) и F (t) выше даёт $\frac{}{^{}}^{}$ функцию babxb − 1.

Пример см. в разделе Сравнение экспоненциальных функций и функций риска распределения Вейбулла.

Примеры

Соответствие распределения Вейбулла данным и параметрам оценки

Открыть сценарий в реальном времени

Моделирование данных о прочности на разрыв тонкой нити накала с использованием распределения Вейбулла со значением параметра масштаба 0.5 и значение параметра формы 2.

rng('default');                  % For reproducibility
strength = wblrnd(0.5,2,100,1);  % Simulated strengths

Вычислите MLE и доверительные интервалы для параметров распределения Вейбулла.

[param,ci] = wblfit(strength)

param = 1×2

    0.4768    1.9622

ci = 2×2

    0.4291    1.6821
    0.5298    2.2890

Расчетный параметр масштаба: 0.4768, с доверительным интервалом 95% (0.4291,0.5298).

Расчетный параметр формы: 1.9622, с доверительным интервалом 95% (1.6821,2.2890).

Доверительный интервал по умолчанию для каждого параметра содержит истинное значение.

Вычислить распределение Вейбулла pdf

Открыть сценарий в реальном времени

Вычисление pdf распределения Вейбулла со значением параметра масштаба 3 и значение параметра формы 2.

x = 0:0.1:10;
y = wblpdf(x,3,2);

Постройте график pdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Вычислить дистрибутив Weibull CDF

Открыть сценарий в реальном времени

Вычислите cdf распределения Вейбулла со значением параметра масштаба 3 и значение параметра формы 2.

x = 0:0.1:10;
y = wblcdf(x,3,2);

Постройте график cdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Сравнение экспоненциальных функций и функций риска распределения Вейбулла

Открыть сценарий в реальном времени

Экспоненциальное распределение имеет постоянную функцию опасности, что обычно не относится к распределению Вейбулла. В этом примере коэффициент опасности Вейбулла увеличивается с возрастом (разумное предположение).

Вычислите функцию опасности для распределения Вейбулла со значением параметра масштаба 1 и значение параметра формы 2.

t = 0:0.1:4.5;
h1 = wblpdf(t,1,2)./(1-wblcdf(t,1,2));

Вычисление среднего значения распределения Вейбулла со значением параметра масштаба 1 и значение параметра формы 2.

mu = wblstat(1,2)

mu = 0.8862

Вычислить функцию опасности для экспоненциального распределения со средним значением mu.

h2 = exppdf(t,mu)./(1-expcdf(t,mu));

Постройте график обеих функций опасности на одной оси.

plot(t,h1,'-',t,h2,'--')
xlabel('Observation')
ylabel('Hazard Rate')
legend('Weibull','Exponential','location','northwest')

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line. These objects represent Weibull, Exponential.

Оценочные параметры трехпараметрического распределения Вейбулла

Открыть сценарий в реальном времени

Toolbox™ статистики и машинного обучения использует двухпараметрическое распределение Вейбулла с параметром масштаба $a$ и параметром формы $b$ . Распределение Вейбулла может принимать еще один параметр, параметр местоположения c. pdf становится

$f (x 'a, b, c \begin{array}{ll} \frac{)}{} {= \frac{{}{ba}}^{(} x-ca) {\frac{}{b-1exp}}^{} (- & (x-ca) \\ b) , если x \end{array}$ > c, 0if x≤c,

где $a$ и $b$ - положительные значения, а $c$ - действительное значение.

Создайте данные выборки размера 1000 из трехпараметрового распределения Вейбулла с параметром масштаба 1, параметром формы 1 и параметром местоположения 10.

rng('default') % For reproducibility
data = wblrnd(1,1,[1000,1]) + 10;

Определите функцию плотности вероятности для трехпараметрового распределения Вейбулла.

custompdf = @(x,a,b,c) (x>c).*(b/a).*(((x-c)/a).^(b-1)).*exp(-((x-c)/a).^b);

mle оценивает параметры по данным. Если mle не сходится с параметрами статистики по умолчанию, измените их с помощью аргумента пара имя-значение 'Options'.

Создание структуры параметров статистики opt с помощью функции statset.

opt = statset('MaxIter',1e5,'MaxFunEvals',1e5,'FunValCheck','off');

Выбор opt включает следующие опции:

'MaxIter',1e5 - увеличить максимальное число итераций до 1e5.
'MaxFunEvals',1e5 - Увеличение максимального количества оценок функций объекта до 1e5.
'FunValCheck','off' - Отключить проверку на наличие недопустимых значений функций объекта.

Для распределения с областью, имеющей нулевую плотность вероятности, mle может попробовать некоторые параметры, которые имеют нулевую плотность, и он не сможет оценить параметры. Чтобы избежать этой проблемы, можно отключить опцию, которая проверяет недопустимые значения функций, используя 'FunValCheck','off'.

Использовать mle для оценки параметров. Заметим, что функция плотности вероятности Вейбулла положительна только для $x >$ c. Это ограничение также подразумевает, что $параметр$ местоположения c меньше минимума данных выборки. Включение нижней и верхней границ параметров с помощью аргументов пары имя-значение'LowerBound' и 'UpperBound'соответственно.

params = mle(data,'pdf',custompdf,'start',[5 5 5],...
     'Options',opt,'LowerBound',[0 0 -Inf],'UpperBound',[Inf Inf min(data)])

params = 1×3

    1.0258    1.0618   10.0004

Если масштабный параметр $b$ меньше 1, плотность вероятности распределения Вейбулла приближается к бесконечности, так как $x$ переходит в $c$ , где $c$ - параметр местоположения. Максимум функции правдоподобия бесконечен. mle может найти удовлетворительные оценки в некоторых случаях, но глобальный максимум вырождается, когда $b <$ 1.

Связанные распределения

Экспоненциальное распределение (Exponential Distribution) - экспоненциальное распределение является однопараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметр (mean). Это распределение также используется для моделирования срока службы. Когда b = 1, распределение Вейбулла равно экспоненциальному распределению со средним λ = a.
Распределение экстремальных значений (Extreme Value Distribution) - распределение экстремальных значений представляет собой двухпараметрическое непрерывное распределение с параметрами (местоположение) и (масштаб). Если Х имеет распределение Вейбулла с параметрами а и b, то логарифм X имеет крайнее распределение значений с параметрами,, которые имеют значения, = log a, и λ = 1/b. Эта связь используется для подгонки данных к распределению Вейбулла.
Распределение Рэлея (Rayleigh Distribution) - распределение Рэлея является однопараметрическим непрерывным распределением, имеющим параметр b (scale). Если A и B являются параметрами распределения Вейбулла, то распределение Рэлея с параметром b эквивалентно распределению Вейбулла с $параметрами A \sqrt{=}$ 2b и B = 2.
Трехпараметрическое распределение Вейбулла (Three-Parameter Weibull Distribution) - трехпараметрическое распределение Вейбулла (Weibull Distribution) добавляет нулевой параметр местоположения в случае двух параметров. Если X имеет двухпараметрическое распределение Вейбулла, то Y = X + c имеет трехпараметрическое распределение Вейбулла с добавленным параметром местоположения c.
Пример см. в разделе Оценка параметров трехпараметрового распределения Вейбулла.

Ссылки

[1] Краудер, Мартин Дж., ред. Статистический анализ данных надежности. Переиздан. Лондон: Chapman & Hall, 1995.

[2] Девройе, Люк. Генерация неоднородных случайных вариаций. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Беззаконие, Джеральд Ф. Статистические модели и методы для данных о времени жизни. 2-я редакция серии Уайли по вероятности и статистике. Хобокен, N.J.: Wiley-Interscience, 2003.

[5] Микер, Уильям К. и Луис А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Серия Уайли по вероятности и статистике. Секция прикладной вероятности и статистики. Нью-Йорк: Уайли, 1998.

См. также

Документация