Документация

Определение

Функция плотности вероятности для обобщенного распределения экстремальных значений с параметром местоположения, параметром масштаба, параметром формы k ≠ 0 является

для

k > 0 соответствует случаю типа II, в то время как k < 0 соответствует случаю типа III. Для k = 0, соответствующий случаю типа I, плотность равна

Фон

Как и распределение экстремальных значений, обобщенное распределение экстремальных значений часто используется для моделирования наименьшего или наибольшего значения среди большого набора независимых, одинаково распределенных случайных значений, представляющих измерения или наблюдения. Например, из производственного процесса можно получить партии по 1000 шайб. При записи размера самой большой шайбы в каждой партии данные называются максимумами блоков (или минимумами при записи наименьшей). Обобщенное распределение экстремальных значений можно использовать в качестве модели для максимумов блоков.

Обобщенное экстремальное значение объединяет три более простых распределения в одну форму, обеспечивая непрерывный диапазон возможных форм, который включает все три более простых распределения. Любое из этих распределений можно использовать для моделирования определенного набора данных максимумов блоков. Обобщенное распределение экстремальных значений позволяет «позволить данным решать», какое распределение является подходящим.

Три случая, охватываемых обобщенным распределением экстремальных значений, часто упоминаются как типы I, II и III. Каждый тип соответствует предельному распределению максимумов блоков из другого класса лежащих в основе распределений. Распределения, хвосты которых уменьшаются экспоненциально, такие как нормаль, приводят к типу I. Распределения, хвосты которых уменьшаются как многочлен, такой как t Стьюдента, приводят к типу II. Распределения, хвосты которых конечны, такие как бета, приводят к типу III.

Типы I, II и III иногда также называют типами Гумбеля, Фреше и Вейбулла, хотя эта терминология может быть немного запутанной. Случаи Тип I (Гумбель) и Тип III (Вейбулл) фактически соответствуют зеркальным изображениям обычных распределений Гумбеля и Вейбулла, например, как вычислено функциями evcdf и evfit , или wblcdf и wblfitсоответственно. Наконец, случай типа II (Frechet) эквивалентен взятию взаимных значений из стандартного распределения Вейбулла.

Параметры

Если создать 250 блоков из 1000 случайных значений, полученных из распределения Стьюдента с 5 степенями свободы, и взять их максимумы, можно подогнать обобщенное распределение экстремальных значений к этим максимумам.

blocksize = 1000;
nblocks = 250;
rng default  % For reproducibility
t = trnd(5,blocksize,nblocks);
x = max(t); % 250 column maxima
paramEsts = gevfit(x)

paramEsts = 1×3

    0.1185    1.4530    5.8929

Обратите внимание, что оценка параметра формы (первый элемент) положительна, что можно ожидать на основе максимумов блоков из распределения Стьюдента.

histogram(x,2:20,'FaceColor',[.8 .8 1]);
xgrid = linspace(2,20,1000);
line(xgrid,nblocks*...
     gevpdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),paramEsts(3)));

Примеры

x = linspace(-3,6,1000);
y1 = gevpdf(x,-.5,1,0); 
y2 = gevpdf(x,0,1,0); 
y3 = gevpdf(x,.5,1,0);
plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':')
legend({'K < 0, Type III' 'K = 0, Type I' 'K > 0, Type II'})