Распределение Вишарта является обобщением одномерного распределения хи-квадрат на две или более переменных. Это распределение для симметричных положительных полуопределённых матриц, обычно ковариационных матриц, диагональными элементами которых являются каждая случайная величина хи-квадрат. Так же, как распределение хи-квадрат может быть построено путем суммирования квадратов независимых, идентично распределенных, нуль-средних одномерных нормальных случайных величин, распределение Уишарта может быть построено путем суммирования внутренних произведений независимых, идентично распределенных, нуль-средних многомерных нормальных случайных векторов. Распределение Вишарта часто используется в качестве модели для распределения матрицы ковариации выборки для многомерных нормальных случайных данных после масштабирования на размер выборки.
Для распределения Уишарта поддерживается только генерация случайной матрицы, включая как сингулярную, так и неингулярную («nonsingular»).
Распределение Вишарта параметризуется симметричной, положительной полудефинированной матрицей Λ, и положительным скалярным параметром степеней свободы, startаналогичен параметру степеней свободы одномерного распределения хи-квадрат, а Startstart- среднему распределению.
Функция плотности вероятности d-мерного распределения Вишарта задается
...Γ (ν-(d-1))/2
где X и Λ являются d-за-d симметричными положительными определёнными матрицами, а start- скаляром, большим d - 1. В то время как можно определить Вишарта для сингулярного, плотность не может быть записана, как выше.
Если x является двумерным нормальным случайным вектором со средним нулем и ковариационной матрицей
затем можно использовать распределение Вишарта для генерации выборки ковариационной матрицы без явного генерирования самого x. Обратите внимание на то, насколько велика вариабельность выборки при малых степенях свободы.
Sigma = [1 .5; .5 2];
df = 10; S1 = wishrnd(Sigma,df)/df
S1 =
1.7959 0.64107
0.64107 1.5496
df = 1000; S2 = wishrnd(Sigma,df)/df
S2 =
0.9842 0.50158
0.50158 2.1682