Переменные, выражения, функции и уравнения

Переменные в MATLAB по умолчанию имеют двойную точность. Панель инструментов «Символьная математика» (Symbolic Math Toolbox) расширяет эту область, позволяя выражать числа в точной символьной форме с помощью sym и с переменной точностью с использованием vpa.

pi/6 + pi/4

ans = 1.3090

sym(pi/6) + sym(pi/4)

ans = 
$$\frac{5\hspace{0.17em}\pi }{12}$$

vpa(pi/6) + vpa(pi/4)

ans = $$1.3089969389957471826927680763665$$

Символьные переменные могут использоваться в математических выражениях, функциях и уравнениях, включая тригонометрические, логарифмические, экспоненциальные и специальные функции. Можно создавать символьные выражения и выполнять над ними математические вычисления.

syms x y 
log(x) + exp(y)

ans = $${\mathrm{e}}^y+\log \left(x\right)$$

Также можно создавать кусочные функции.

y(x) = piecewise(x<0, -1, x>0, 1)

y(x) = 

Создание и вычисление символьных функций. Найти значение f при $$x=\mathrm{}$$-5.

syms f(x)
f(x) = x^4-2*x^3+6*x^2-2*x+10

f(x) = $$x^4-2\hspace{0.17em}{x}^3+6\hspace{0.17em}{x}^2-2\hspace{0.17em}x+10$$

f(-5)

ans = $$1045$$

Найти пересечение между линиями $$\mathrm{y1}$$ и $$\mathrm{y2}$$ с помощью solve. Приравнять строки с помощью оператора = = .

syms y1 y2
y1 = x+3; y2 = 3*x;
solve(y1 == y2)

ans = 
$$\frac{3}{2}$$

Сделать assume на символьных переменных. Существует 4 решения $${}^{\mathrm{x4}}\mathrm{=}$$1, два вещественных и два комплексных. Предполагая, $$\mathrm{что}$$ x является вещественным $$и\mathrm{x}$$> 0, существует только одно решение.

syms x
solve(x^4 == 1)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}\end{array}\right)$$

assume(x,'real')
assumeAlso( x > 0)
assumptions(x)

ans = 

solve(x^4 == 1)

ans = $$1$$

assume(x,'clear')

Замещение и решение

Панель инструментов символьной математики поддерживает оценку математических функций путем замены любой части выражения с помощью subs. Можно заменить числовые значения, другие символьные переменные или выражения, векторы или матрицы. Панель инструментов «Символьная математика» (Symbolic Math Toolbox) поддерживает решение уравнений и систем уравнений с помощью solve. Он поддерживает решение многомерных уравнений, решение неравенств и решение с предположениями. Решения можно найти символически или численно с высокой точностью, используя арифметику переменной точности.

Выполните подстановки с помощью символьных переменных. Заменить $$x=\mathrm{}$$xo-1 $${\mathrm{на}}^{\mathrm{}}\mathrm{x2}$$ + 1

syms x xo
subs(x^2+1,x,xo-1)

ans = $${\left(\mathrm{xo}-1\right)}^2+1$$

Подстановка нескольких значений. Например, вычислить $$\cos (a)+sin{(}^{\mathrm{b})}$$ -e2C, $$\frac{\mathrm{подставив}}{\mathrm{}}a=\frac{}{\mathrm{}}xeon2,b\mathrm{}$$= xeon4, c = -1.

syms a b c
subs(cos(a) + sin(b) - exp(2*c), [a b c], [pi/2 pi/4 -1])

ans = 
$$\frac{\sqrt{2}}{2}-{\mathrm{e}}^{-2}$$

Создание и решение уравнений. Найдите нули $$\mathrm{}{}^{\mathrm{}}\mathrm{9x2-1}\mathrm{=}$$0.

solve(9*x^2 - 1 == 0)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Решите общее квадратичное уравнение $${}^{\mathrm{ax2}}+\mathrm{bx}\mathrm{+}$$ c = 0 и используйте subs, чтобы вычислить это $$\mathrm{решение}\mathrm{}\mathrm{для}\mathrm{a}=9\mathrm{,}$$b = 0, c = -1.

eqn = a*x^2 + b*x + c == 0;
sol = solve(eqn) 

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{b+\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\\ -\frac{b-\sqrt{b^2-4\hspace{0.17em}a\hspace{0.17em}c}}{2\hspace{0.17em}a}\end{array}\right)$$

subs(sol,[a b c],[9 0 -1])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$

Решайте уравнения символически или с помощью арифметики переменной точности, когда необходимы точные результаты или высокая точность. Граф $\mathit{f}\mathit{(}x\text{)}\text{=}\mathrm{}{\mathit{}}^{\mathrm{}}6x7\mathrm{}{\mathit{-}}^{\mathrm{}}\mathrm{}{\mathit{2x6}}^{\mathrm{}}+\mathrm{}$3x3 − 8 очень плоский около своего корня.

syms x f(x)
assume(x>0)
f(x) = 6*x^7-2*x^6+3*x^3-8;
fplot(f)
xlim([-10 10])
ylim([-1e3 1e3])

doubleSol = roots([6 -2 0 0 3 0 0 -8]) %  double-precision

doubleSol = 7×1 complex

   1.0240 + 0.0000i
   0.7652 + 0.8319i
   0.7652 - 0.8319i
  -0.8808 + 0.5043i
  -0.8808 - 0.5043i
  -0.2297 + 0.9677i
  -0.2297 - 0.9677i

symsSol = solve(f) % exact. The roots object stores the zeros for symbolic computations

symsSol = 
$$\mathrm{root}\left(z^7-\frac{z^6}{3}+\frac{z^3}{2}-\frac{4}{3},z,5\right)$$

vpaSol = vpasolve(f) % variable-precision 

vpaSol = 
$$\left(\begin{array}{c}1.0240240759053702941448316563337\\ -0.88080620051762149639205672298326+0.50434058840127584376331806592405\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.88080620051762149639205672298326-0.50434058840127584376331806592405\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.22974795226118163963098570610724+0.96774615576744031073999010695171\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ -0.22974795226118163963098570610724-0.96774615576744031073999010695171\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ 0.7652087814927846556172932675903+0.83187331431049713218367239317121\hspace{0.17em}\mathrm{i}\\ 0.7652087814927846556172932675903-0.83187331431049713218367239317121\hspace{0.17em}\mathrm{i}\end{array}\right)$$

Упрощение и манипулирование

Панель инструментов символьной математики поддерживает манипуляции с формулами и упрощение математических функций. Большинство математических выражений могут быть представлены в различных, но математически эквивалентных формах, и набор символьных математических инструментов поддерживает ряд операций, включая факторинг или расширение выражений, объединение терминов, перезапись или перестановку выражений и упрощение на основе допущений.

Выполните умножение полинома и упростите результаты, показав, что $$(\mathrm{x-1})(x\mathrm{}+1^{\mathrm{)}}(\mathrm{x2}+{}^{\mathrm{x}}\mathrm{+}1{)}^{\mathrm{}}(x2\mathrm{}+1^{\mathrm{)}}{(}^{\mathrm{}}\mathrm{}x2-x$$ + 1) (x4-x2 + $$1^{\mathrm{)}\mathrm{}}\mathrm{}$$упрощается до x12-1.

simplify((x - 1)*(x + 1)*(x^2 + x + 1)*(x^2 + 1)*(x^2 - x + 1)*(x^4 - x^2 + 1))

ans = $$x^{12}-1$$

Примените тригонометрические идентичности к упрощениям, например $${}^{\mathrm{sin2}}(x)\frac{\mathrm{}=\mathrm{}\mathrm{1-cos}}{\mathrm{(}}$$2x) 2.

combine(2*sin(x)*cos(x) + (1- cos(2*x))/2 + cos(x)^2,'sincos')

ans = $$\sin \left(2\hspace{0.17em}x\right)+1$$

Множить или расширять многомерные многочлены.

syms x y
factor(y^6-x^6)

ans = $$\left(\begin{array}{ccccc}-1& x-y& x+y& x^2+x\hspace{0.17em}y+y^2& x^2-x\hspace{0.17em}y+y^2\end{array}\right)$$

f(x) = (x^3 + 7);
expand(f(y-1))

ans = $$y^3-3\hspace{0.17em}{y}^2+3\hspace{0.17em}y+6$$

Найти функциональный состав $$f(g(x$$)).

f(x) = sqrt(log(x));
g(x) = sqrt(1-x);
h = compose(g,f,x)

h(x) = $$\sqrt{1-\sqrt{\log \left(x\right)}}$$

Расчет (дифференциация, интеграция, пределы, серия и т.д.)

Инструментарий «Символьная математика» (Symbolic Math Toolbox) содержит полный набор инструментов вычисления для прикладной математики. Он может выполнять многомерную символическую интеграцию и дифференциацию. Он может генерировать, манипулировать и выполнять вычисления с сериями.

Найдите производную $$\frac{}{\mathrm{ddx}}\mathrm{(}sin(x$$)).

diff(sin(x))

ans = $$\cos \left(x\right)$$

Найдите производную $$\frac{}{\mathrm{ddx}}{(}^{\mathrm{}}x2\mathrm{+}\mathrm{}{\sin }^{\mathrm{}}(\mathrm{}2x4$$) + 1) с помощью правила цепочки.

diff(x^2+sin(2*x^4)+1,x)

ans = $$2\hspace{0.17em}x+8\hspace{0.17em}{x}^3\hspace{0.17em}\cos \left(2\hspace{0.17em}{x}^4\right)$$

Найдите неопределенный интеграл $$\mathrm{\int f}(x)$$dx $$\mathrm{для}f(x^{\frac{){}^{\mathrm{=}}}{\mathrm{}}}$$e-x22.

int(exp(-x^2/2),x)

ans = 
$$\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}\sqrt{\pi }\hspace{0.17em}\mathrm{erf}\left(\frac{\sqrt{2}\hspace{0.17em}x}{2}\right)}{2}$$

Найдите определенный интеграл $${}_{}^{}\mathrm{\int abf}(x)$$dx $$\mathrm{для}f(x\mathrm{)\; =}\mathrm{}xlog$$ (1 + $$\mathrm{x}$$) $$\mathrm{}$$от 0 до 1.

int(x*log(1+x),0,1)

ans = 
$$\frac{1}{4}$$

Покажите, что $$\frac{\sin (x}{)}\mathrm{x}$$ = 1 $$\mathrm{при}$$ x = 0, вычисляя