Создание функции и поиск ее производной

Создайте вектор $$x$$ и матрицу $$A$$ в виде символьных матричных переменных. Определите функцию $\mathit{f}\mathit{(}x)\mathrm{=}{\mathit{}}^{\mathit{sin}}\mathit{}\text{(}\mathit{}$xTA x).

syms x [2 1] matrix
syms A [2 2] matrix
f = sin(x.'*A*x)

f = $$\sin \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)$$

Вычислить производную D функции $$f(x$$) относительно вектора $$$$x. производнаяD отображается в компактной матричной нотации в терминах $$x$$ и $$A$$.

D = diff(f,x)

D = $$\cos \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A+x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}\right)$$

Новообращенный symmatrix Объекты для sym Объекты

Переменные символьной матрицы x, A, f, и D являются symmatrix объекты. Эти объекты представляют матрицы, векторы и скаляры в компактной матричной нотации. Чтобы показать компоненты этих переменных, преобразуйте symmatrix объекты в sym объекты с использованием symmatrix2sym.

xsym = symmatrix2sym(x)

xsym = 
$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

Asym = symmatrix2sym(A)

Asym = 
$$\left(\begin{array}{cc}{A}_{1,1}& A_{1,2}\\ A_{2,1}& A_{2,2}\end{array}\right)$$

fsym = symmatrix2sym(f)

fsym = $$\left(\begin{array}{c}\sin \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\end{array}\right)$$

Dsym = symmatrix2sym(D)

Dsym = $$\left(\begin{array}{cc}\cos \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{A}_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2+A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_2\right)& \cos \left(x_1\hspace{0.17em}\left(A_{1,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)+x_2\hspace{0.17em}\left(A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(A_{1,2}\hspace{0.17em}{x}_1+A_{2,1}\hspace{0.17em}{x}_1+2\hspace{0.17em}{A}_{2,2}\hspace{0.17em}{x}_2\right)\end{array}\right)$$

Подстановка числовых значений и поиск минимального значения

Предположим, что вас интересует случай, когда значение $$A$$ равно [2 -1; 0 3]. Подставить это значение в функцию fsym.

fsym = subs(fsym,Asym,[2 -1; 0 3])

fsym = $$\sin \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)$$

Подставить значение $$A$$ в производную Dsym

Dsym = subs(Dsym,Asym,[2 -1; 0 3])

Dsym = $$\left(\begin{array}{cc}\cos \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(4\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)& -\cos \left(3\hspace{0.17em}{x_2}^2+x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-x_2\right)\right)\hspace{0.17em}\left(x_1-6\hspace{0.17em}{x}_2\right)\end{array}\right)$$

Затем примените символическую функцию solve чтобы получить корень производной.

[xmin,ymin] = solve(Dsym,xsym,'PrincipalValue',true);
x0 = [xmin; ymin]

x0 = 
$$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

Постройте график функции $$f(x$$) вместе с решением экстремума $${}_{\mathrm{}}$$x0. Установите интервал графика равным $$\mathrm{-}1{}_{\mathrm{<}}\mathrm{}$$x1 < 1 $$\mathrm{}{и}_{\mathrm{}}-1$$ < x2 < 1 в качестве второго аргументаfsurf. Использовать fplot3 для построения графика координат решения экстремума.

fsurf(fsym,[-1 1 -1 1])
hold on
fplot3(xmin,ymin,subs(fsym,xsym,x0),'ro')
view([-68 13])

Приблизительная функция вблизи своего минимума

Можно аппроксимировать многомерную функцию вокруг точки $${}_{\mathrm{x0}}$$ с помощью мультинома с помощью расширения Тейлора.

Здесь член $$\mathrm{\nabla f}{(}_{\mathrm{}}x0$$) является градиентным вектором, а $$H(f_{\mathrm{}}($$x0)) является гессенской матрицей многомерной $\mathit{}функции\mathit{}f$ (x), вычисленной $${}_{\mathrm{}}$$при x0.

Найдите матрицу Гессена и верните результат в виде символьной переменной матрицы.

H = diff(f,x,x.')

H = $$-\sin \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(A^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}x+A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A+x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}\right)+\cos \left(x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x\right)\hspace{0.17em}\left(A^{\mathrm{T}}+A\right)$$

Преобразовать матрицу Гессена $$H(f{}_{\mathrm{(}}x0$$)) в sym тип данных, представляющий матрицу в ее компонентной форме. Использовать subs для оценки гессенской матрицы для $$A$$ = [2 -1; 0 3] в минимальной точке $${}_{\mathrm{x0}}$$.

Hsym = symmatrix2sym(H);
Hsym = subs(Hsym,Asym,[2 -1; 0 3]);
H0 = subs(Hsym,xsym,x0)

H0 = 
$$\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -1& 6\end{array}\right)$$

Вычислите градиентный вектор $$\mathrm{\nabla f}{(}_{\mathrm{}}x0$$) при $${}_{\mathrm{}}$$x0.

D0 = subs(Dsym,xsym,x0)

D0 = $$\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)$$

Вычислите приближение Тейлора к функции вблизи ее минимума.

fapprox = subs(fsym,xsym,x0) + D0*(xsym-x0) + 1/2*(xsym-x0).'*H0*(xsym-x0)

fapprox = 
$$x_1\hspace{0.17em}\left(2\hspace{0.17em}{x}_1-\frac{x_2}{2}\right)-x_2\hspace{0.17em}\left(\frac{x_1}{2}-3\hspace{0.17em}{x}_2\right)$$

Постройте график аппроксимации функции на том же графике, который показывает $$f(x$$) и $${}_{\mathrm{}}$$x0.

hold on
fsurf(fapprox,[-1 1 -1 1])
zlim([-1 3])