Найти расширение серии Puiseux

Найдите расширения серии Puiseux одномерных и многомерных выражений.

Найти расширение серии Puiseux этого выражения в точке x = 0.

syms x
series(1/sin(x), x)

ans =
x/6 + 1/x + (7*x^3)/360

Найдите расширение серии Puiseux этого многомерного выражения. Если переменная расширения не указана, series использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
symvar(f, 1)
series(f)

ans =
t
 
ans =
sin(s)/t + (7*t^3*sin(s))/360 + (t*sin(s))/6

Чтобы использовать другую переменную расширения, укажите ее явно.

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
series(f, s)

ans =
s^5/(120*sin(t)) - s^3/(6*sin(t)) + s/sin(t)

Указать точку расширения

Найти расширение серии Puiseux psi(x) вокруг x = Inf. Точка расширения по умолчанию - 0. Чтобы указать другую точку расширения, используйте ExpansionPoint пара имя-значение.

series(psi(x), x, 'ExpansionPoint', Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

Либо укажите точку расширения в качестве третьего аргумента series.

syms x
series(psi(x), x, Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

Аппроксимация серии Plot Puiseux

Найти расширение серии Puiseux exp(x)/x с использованием различных порядков усечения.

Найдите расширение серии до порядка усечения по умолчанию 6.

syms x
f = exp(x)/x;
s6 = series(f, x)

s6 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+1$$

Использовать Order для управления порядком усечения. Например, аппроксимировать одно и то же выражение вплоть до порядков 7 и 8.

s7 = series(f, x, 'Order', 7)

s7 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+1$$

s8 = series(f, x, 'Order', 8)

s8 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+\frac{x^6}{5040}+1$$

Постройте график исходного выражения f и его аппроксимации s6, s7, и s8. Обратите внимание, как точность аппроксимации зависит от порядка усечения.

fplot([s6 s7 s8 f])
legend('approximation up to O(x^6)','approximation up to O(x^7)',...
            'approximation up to O(x^8)','exp(x)/x','Location', 'Best')
title('Puiseux Series Expansion')

Указание направления расширения

Найдите аппроксимации рядов Puiseux с помощью Direction аргумент. Этот аргумент позволяет изменить область сходимости, которая является областью, где series пытается найти сходящееся расширение Пюисё, аппроксимирующее исходное выражение.

Найдите аппроксимацию ряда Пюисё этого выражения. По умолчанию series находит аппроксимацию, допустимую в небольшом разомкнутом круге в комплексной плоскости вокруг точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120

Найдите приближение серии Пюисё того же выражения, которое допустимо в небольшом интервале слева от точки расширения. Затем найдите приближение, действительное в небольшом интервале справа от точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'left')
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'right')

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120
 
ans =
- x^(1/2)*1i - (x^(3/2)*1i)/6 - (x^(5/2)*1i)/120
 
ans =
x^(1/2)*1i + (x^(3/2)*1i)/6 + (x^(5/2)*1i)/120

Попробуйте вычислить аппроксимацию ряда Пюисё для этого выражения. По умолчанию series пытается найти приближение, действительное в комплексной плоскости вокруг точки расширения. Для этого выражения такого приближения не существует.

series(real(sin(x)), x)

Error using sym/series>scalarSeries (line 90)
Unable to compute series expansion.

Однако аппроксимация существует вдоль действительной оси, к обеим сторонам x = 0.

series(real(sin(x)), x, 'Direction', 'realAxis')

ans =
x^5/120 - x^3/6 + x