В этом примере показано, как определить фильтр масштабирования экстремальной фазы Daubechies с заданной суммой. Двумя наиболее распространенными значениями суммы являются 2 $$\sqrt{\mathrm{}}$$и 1.

Создайте две версии db4 масштабный фильтр. Один масштабный фильтр суммирует до $$\sqrt{2}$$, а другой вариант суммирует до 1.

NumVanishingMoments = 4;
h = dbaux(NumVanishingMoments,sqrt(2));
m0 = dbaux(NumVanishingMoments,1);

Фильтр с суммой, равной $$\sqrt{2}$$, является синтезирующим (восстановительным) фильтром, возвращаемым wfilters и используется в дискретном вейвлет-преобразовании.

[LoD,HiD,LoR,HiR] = wfilters('db4');
max(abs(LoR-h))

ans = 4.2590e-13

Для ортогональных вейвлетов фильтр анализа (разложения) является обратным по времени фильтром синтеза.

max(abs(LoD-fliplr(h)))

ans = 4.2590e-13

Этот пример показывает, что фильтры масштабирования symlet и Daubechies одного порядка являются решениями одного и того же полиномиального уравнения.

Создайте масштабный фильтр Daubechies порядка 4 и постройте его график.

wdb4 = dbaux(4)

wdb4 = 1×8

    0.1629    0.5055    0.4461   -0.0198   -0.1323    0.0218    0.0233   -0.0075

stem(wdb4)
title('Order 4 Daubechies Scaling Filter')

wdb4 - решение уравнения: P = conv (wrev (w), w) * 2, где P - фильтр «группы Лагранжа» для N = 4. Вычислите P и постройте его график. P - симметричный фильтр, а wdb4 - минимальное фазовое решение предыдущего уравнения, основанное на корнях P.

P = conv(wrev(wdb4),wdb4)*2;
stem(P)
title('''Lagrange trous'' filter')

Создайте wsym4, масштабный фильтр symlet порядка 4 и постройте его график. Symlets - «наименее асимметричные» вейвлеты Daubechies, полученные из другого выбора между корнями P.

wsym4 = symaux(4)

wsym4 = 1×8

    0.0228   -0.0089   -0.0702    0.2106    0.5683    0.3519   -0.0210   -0.0536

stem(wsym4)
title('Order 4 Symlet Scaling Filter')

Вычислите конвейер (wrev (wsym4), wsym4) * 2 и подтвердите, что wsym4 является другим решением уравнения P = conv (wrev (w), w) * 2.

P_sym = conv(wrev(wsym4),wsym4)*2;
err = norm(P_sym-P)

err = 1.8677e-15

Этот пример демонстрирует, что для данной поддержки совокупная сумма возведенных в квадрат коэффициентов масштабного фильтра увеличивается быстрее для экстремального фазового вейвлета, чем для других вейвлетов.

Создание коэффициентов масштабного фильтра для db15 и sym15 вейвлеты. Оба вейвлета имеют опору ширины $2\mathrm{\times }\mathrm{}\mathrm{15-1}$= 29.

[~,~,LoR_db,~] = wfilters('db15');
[~,~,LoR_sym,~] = wfilters('sym15');

Затем создайте коэффициенты масштабного фильтра для coif5 вейвлет. Этот вейвлет также имеет поддержку ширины $6\mathrm{\times }\mathrm{}\mathrm{5-1}$= 29.

[~,~,LoR_coif,~] = wfilters('coif5');

Подтвердите, что сумма коэффициентов для всех трех вейвлетов равна $\sqrt{2}$.

sqrt(2)-sum(LoR_db)

ans = 2.2204e-16

sqrt(2)-sum(LoR_sym)

ans = 0

sqrt(2)-sum(LoR_coif)

ans = 2.2204e-16

Постройте график кумулятивных сумм возведенных в квадрат коэффициентов. Обратите внимание, как быстро увеличивается сумма Daubechies. Это потому, что его энергия сконцентрирована в небольших абсциссах. Поскольку вейвлет Daubechies имеет экстремальную фазу, кумулятивная сумма его квадратных коэффициентов увеличивается быстрее, чем два других вейвлета.

plot(cumsum(LoR_db.^2),'rx-')
hold on
plot(cumsum(LoR_sym.^2),'mo-')
plot(cumsum(LoR_coif.^2),'b*-')
legend('Daubechies','Symlet','Coiflet')
title('Cumulative Sum')