В этом примере создается коэффициент фильтра масштабирования symlet, норма которого равна 1. Вы также подтвердите, что коэффициенты удовлетворяют необходимому соотношению.

Вычислите коэффициенты масштабного фильтра порядка 10 symlet, сумма которых $\sqrt{\mathrm{равна\; 2}}$.

n = 10;
w = symaux(n,sqrt(2));

Подтвердите, что сумма коэффициентов равна $\sqrt{2}$, а норма равна 1.

sqrt(2)-sum(w)

ans = 0

1-sum(w.^2)

ans = 1.1324e-14

Поскольку целочисленные трансляции функции масштабирования образуют ортогональный базис, коэффициенты удовлетворяют соотношению ${}_{\mathit{}}\mathit{\sum nw}\mathit{(}n\mathit{)}\mathit{w}\mathrm{(}\mathit{}\mathrm{n-2k})\mathit{}=$δ (k). Подтвердите это, взяв автокорреляцию коэффициентов и построив график результата.

corrw = xcorr(w,w);
stem(corrw)
grid on
title('Autocorrelation of scaling coefficients')

stem(corrw(2:2:end))
grid on
title('Even-indexed autocorrelation values')

Этот пример показывает, что фильтры масштабирования symlet и Daubechies одного порядка являются решениями одного и того же полиномиального уравнения.

Создайте масштабный фильтр Daubechies порядка 4 и постройте его график.

wdb4 = dbaux(4)

wdb4 = 1×8

    0.1629    0.5055    0.4461   -0.0198   -0.1323    0.0218    0.0233   -0.0075

stem(wdb4)
title('Order 4 Daubechies Scaling Filter')

wdb4 - решение уравнения: P = conv (wrev (w), w) * 2, где P - фильтр «группы Лагранжа» для N = 4. Вычислите P и постройте его график. P - симметричный фильтр, а wdb4 - минимальное фазовое решение предыдущего уравнения, основанное на корнях P.

P = conv(wrev(wdb4),wdb4)*2;
stem(P)
title('''Lagrange trous'' filter')

Создайте wsym4, масштабный фильтр symlet порядка 4 и постройте его график. Symlets - «наименее асимметричные» вейвлеты Daubechies, полученные из другого выбора между корнями P.

wsym4 = symaux(4)

wsym4 = 1×8

    0.0228   -0.0089   -0.0702    0.2106    0.5683    0.3519   -0.0210   -0.0536

stem(wsym4)
title('Order 4 Symlet Scaling Filter')

Вычислите конвейер (wrev (wsym4), wsym4) * 2 и подтвердите, что wsym4 является другим решением уравнения P = conv (wrev (w), w) * 2.

P_sym = conv(wrev(wsym4),wsym4)*2;
err = norm(P_sym-P)

err = 1.8677e-15

Для данной опоры ортогональный вейвлет с фазовым откликом, который больше всего напоминает линейный фазовый фильтр, называется наименее асимметричным. Симлеты являются примерами наименьших асимметричных вейвлетов. Они представляют собой модифицированные версии классических вейвлетов базы данных Daubechies. В этом примере показано, что symlet порядка 4 имеет почти линейный фазовый отклик, а вейвлет Daubechies порядка 4 - нет.

Сначала постройте график функций масштабирования порядка 4 symlet и порядка 4 Daubechies. Хотя ни один из них не является идеально симметричным, обратите внимание, насколько симлет более симметричен.

[phi_sym,~,xval_sym]=wavefun('sym4',10);
[phi_db,~,xval_db]=wavefun('db4',10);
subplot(2,1,1)
plot(xval_sym,phi_sym)
title('sym4 - Scaling Function')
grid on
subplot(2,1,2)
plot(xval_db,phi_db)
title('db4 - Scaling Function')
grid on

Создайте фильтры, связанные с вейвлетами symlet и Daubechies порядка 4.

scal_sym = symaux(4,sqrt(2));
scal_db = dbaux(4,sqrt(2));

Вычислите частотную характеристику фильтров масштабирования синтеза.

[h_sym,w_sym] = freqz(scal_sym);
[h_db,w_db] = freqz(scal_db);

Чтобы избежать визуальных разрывов, разверните фазовые углы частотных откликов и постройте их график. Обратите внимание, насколько хорошо фазовый угол фильтра symlet аппроксимирует прямую линию.

h_sym_u = unwrap(angle(h_sym));
h_db_u = unwrap(angle(h_db));
figure
plot(w_sym/pi,h_sym_u,'.')
hold on
plot(w_sym([1 end])/pi,h_sym_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Symlet Order 4 - Phase Angle')

figure
plot(w_db/pi,h_db_u,'.')
hold on
plot(w_db([1 end])/pi,h_db_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Daubechies Order 4 - Phase Angle')

sym4 и db4 вейвлеты не симметричны, но биортогональный вейвлет равен. Постройте график функции масштабирования, связанной с bior3.5 вейвлет. Вычислите частотную характеристику фильтра масштабирования синтеза для вейвлета и убедитесь, что он имеет линейную фазу.

[~,~,phi_bior_r,~,xval_bior]=wavefun('bior3.5',10);
figure
plot(xval_bior,phi_bior_r)
title('bior3.5 - Scaling Function')
grid on

[LoD_bior,HiD_bior,LoR_bior,HiR_bior] = wfilters('bior3.5');
[h_bior,w_bior] = freqz(LoR_bior);
h_bior_u = unwrap(angle(h_bior));
figure
plot(w_bior/pi,h_bior_u,'.')
hold on
plot(w_bior([1 end])/pi,h_bior_u([1 end]),'r')
grid on
xlabel('Normalized Frequency ( x \pi rad/sample)')
ylabel('Phase (radians)')
legend('Phase Angle of Frequency Response','Straight Line')
title('Biorthogonal 3.5 - Phase Angle')

Этот пример демонстрирует, что для данной поддержки совокупная сумма возведенных в квадрат коэффициентов масштабного фильтра увеличивается быстрее для экстремального фазового вейвлета, чем для других вейвлетов.

Создание коэффициентов масштабного фильтра для db15 и sym15 вейвлеты. Оба вейвлета имеют опору ширины $2\mathrm{\times }\mathrm{}\mathrm{15-1}$= 29.

[~,~,LoR_db,~] = wfilters('db15');
[~,~,LoR_sym,~] = wfilters('sym15');

Затем создайте коэффициенты масштабного фильтра для coif5 вейвлет. Этот вейвлет также имеет поддержку ширины $6\mathrm{\times }\mathrm{}\mathrm{5-1}$= 29.

[~,~,LoR_coif,~] = wfilters('coif5');

Подтвердите, что сумма коэффициентов для всех трех вейвлетов равна $\sqrt{2}$.

sqrt(2)-sum(LoR_db)

ans = 2.2204e-16

sqrt(2)-sum(LoR_sym)

ans = 0

sqrt(2)-sum(LoR_coif)

ans = 2.2204e-16

Постройте график кумулятивных сумм возведенных в квадрат коэффициентов. Обратите внимание, как быстро увеличивается сумма Daubechies. Это потому, что его энергия сконцентрирована в небольших абсциссах. Поскольку вейвлет Daubechies имеет экстремальную фазу, кумулятивная сумма его квадратных коэффициентов увеличивается быстрее, чем два других вейвлета.

plot(cumsum(LoR_db.^2),'rx-')
hold on
plot(cumsum(LoR_sym.^2),'mo-')
plot(cumsum(LoR_coif.^2),'b*-')
legend('Daubechies','Symlet','Coiflet')
title('Cumulative Sum')