Функции вейвлета и масштабирования
[ прибыль phi,psi,xval] = wavefun(wname,iter)psi и phiаппроксимации функций вейвлета и масштабирования, соответственно, связанных с ортогональным вейвлетом wnameили вейвлет Мейера. Аппроксимации вычисляются по точкам сетки xval. Положительное целое число iter указывает количество вычисленных итераций.
[ возвращает аппроксимации функций вейвлета и масштабирования, связанных с биортогональным вейвлетом phi1,psi1,phi2,psi2,xval] = wavefun(wname,iter)wname. Аппроксимации вейвлет-функции и функции масштабирования psi1 и phi1, соответственно, для разложения. Аппроксимации вейвлет-функции и функции масштабирования psi2 и phi2, соответственно, на реконструкцию.
В этом примере показано, как количество итераций влияет на кусочную аппроксимацию указанного вейвлета.
Укажите количество итераций и имя вейвлета.
wname = 'sym4';
itr = 10;Постройте график кусочной аппроксимации импульса, генерируемого после одной итерации.
[~,psi,xval] = wavefun(wname,1); plot(xval,psi,'x-') grid on title(['Approximation of ',wname,' Wavelet'])
Измените число итераций от одного до четырех и постройте график аппроксимаций. Обратите внимание, что по мере роста числа итераций растет и количество точек выборки.
figure for k=1:4 [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); subplot(2,2,k) plot(xval,psi,'x-') axis tight grid on title(['Number of Iterations: ',num2str(k)]) end
Теперь измените число итераций от единицы до числа, указанного itr.
figure for k=1:itr [~,psi,xval] = wavefun(wname,k); plot(xval,psi) hold on end grid on title(['Approximations of ',wname,' for 1 to ',num2str(itr),' iterations'])
В этом примере показано, как построить график аппроксимаций функций масштабирования и вейвлета, связанных с биоргональным вейвлетом.
Укажите имя биорогонального вейвлета.
wname = 'bior3.7';Постройте график аппроксимаций функций масштабирования и вейвлета, связанных с указанным биортогональным вейвлетом, используя количество итераций по умолчанию. Постройте график аппроксимаций как для разложения, так и для реконструкции.
wavefun(wname,0);
Для компактно поддерживаемых вейвлетов, определяемых фильтрами, в общем случае не существует аналитической формулы закрытой формы.
В качестве алгоритма используется каскадный алгоритм. Он использует одноуровневое обратное вейвлет-преобразование неоднократно.
Давайте начнем с масштабной функции
Так как startтакже равен, то эта функция характеризуется следующими коэффициентами в ортогональной структуре:
< start, start0, n > = 1 только в том случае, если n = 0 и равно 0 в противном случае
< start, start− j, k > = 0 для положительного j, и все k.
Это расширение можно рассматривать как структуру вейвлет-разложения. Коэффициенты детализации - все нули, а коэффициенты аппроксимации - все нули, за исключением одного, равного 1.
Затем мы используем алгоритм реконструкции, чтобы аппроксимировать функцию по диадической сетке, в соответствии со следующим результатом:
Для любого диадического рационального вида x = n2 − j, в котором функция непрерывна и где j достаточно велика, имеем точечную сходимость и
где C - постоянная, а α - положительная постоянная в зависимости от закономерности импульса.
Затем, используя хорошую аппроксимацию для диадических обоснований, мы можем использовать кусочно-постоянные или кусочно-линейные интерполяции по диадическим интервалам, для которых происходит равномерная сходимость со сходной экспоненциальной скоростью:
Таким образом, используя J-ступенчатую схему реконструкции, мы получаем приближение, которое сходится экспоненциально к, когда J переходит в бесконечность.
Аппроксимации вычисляются по сетке диадических обоснований, покрывающих поддержку аппроксимируемой функции.
Начиная с чешуйчатой версии функции небольшой волны на ψ можно также подробно остановиться (ϕ−1, n)), n, та же схема может использоваться после одноуровневой реконструкции, начинающейся с соответствующей структуры разложения небольшой волны. Коэффициенты аппроксимации - все нули, а коэффициенты детализации - все нули, за исключением одного, равного 1 .
Для биортогенных вейвлетов одни и те же идеи могут быть применены к каждой из двух схем мультирешений в дуальности.
Примечание
Этот алгоритм может расходиться, если функция, подлежащая аппроксимации, не является непрерывной на диадических обоснованиях.
[1] Daubechies, I. Десять лекций по вейвлетам. Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике. Филадельфия, Пенсильвания: Общество промышленной и прикладной математики, 1992.
[2] Странг, G. и Т. Нгуен. Вейвлеты и банки фильтров. Уэлсли, Массачусетс: Уэлсли-Кембридж Пресс, 1996.