Размещение полюсов

Положения полюса с обратной связью оказывают непосредственное влияние на характеристики временной характеристики, такие как времена нарастания, время урегулирования и переходные колебания. Корневой годограф использует усиления компенсатора для перемещения полюсов с обратной связью, чтобы достичь проектных спецификаций для систем SISO. Однако можно использовать методы пространства состояний для назначения полюсов с обратной связью. Этот метод проекта известен как размещение полюсов, которое отличается от корневого годографа следующими способами:

Используя методы размещения полюсов, можно проектировать динамические компенсаторы.
Методы размещения полюсов применимы к системам MIMO.

Размещение полюса требует модели системы в пространстве состояний (использование ss для преобразования других форматов модели в пространство состояний). За непрерывное время такие модели имеют вид

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

где u - вектор входных входов управления, x - вектор состояния, а y - вектор измерений.

Выбор усиления с обратной связью

В состоянии обратной связи $u = - K x$ , динамика замкнутой системы задается как

$\dot{x} = (A - B K) x$

и полюса с обратной связью являются собственными значениями A - BK. Использование place функция позволяет вычислить K матрицы усиления, которая присваивает эти полюсы любым желаемым местоположениям в комплексной плоскости (при условии, что (A, B) является управляемым).

Для примера - для матриц состояний A и B, и векторные p который содержит требуемые положения полюсов замкнутого цикла,

K = place(A,B,p);

вычисляет соответствующую матрицу усиления K.

Проект оценщика состояния

Вы не можете реализовать закон обратной связи о состоянии $u = - K x$ если только не измеряется x полного состояния. Однако можно создать оценку состояния $ξ$ таким образом, чтобы закон $u = - K ξ$ сохраняет сходные свойства назначения полюсов и замкнутой системы. Вы можете добиться этого, разработав оценку состояния (или наблюдателя) формы

$\dot{ξ} = A ξ + B u + L (y - C ξ - D u)$

Полюса оценщика являются собственными значениями A- LC, которые могут быть произвольно назначены путем правильного выбора матрицы L усиления оценщика при условии, что (C, A) наблюдаема. Обычно динамика оценщика должна быть быстрее, чем динамика контроллера (собственные значения A - BK).

Используйте place функция для вычисления матрицы L

L = place(A',C',q).'

где A и C являются состояниями и выходными матрицами, и q - вектор, содержащий желаемые полюсы с обратной связью для наблюдателя.

Замена x своей оценкой $ξ$ в $u = - K x$ приводит к динамическому компенсатору выходной обратной связи

$\begin{array}{l} \dot{ξ} = [A - L C - (B - L D) K] ξ + L y \\ u = - K ξ \end{array}$

Обратите внимание, что полученная динамика замкнутой системы

$[\begin{matrix} \dot{x} \\ \dot{e} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A - B K & B K \\ 0 & A - L C \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ e \end{matrix}], e = x - ξ$

Следовательно, вы фактически присваиваете все полюсы с обратной связью, независимо помещая собственные значения A - BK и A - LC.

Пример

Учитывая модель пространства состояний в непрерывном времени

sys_pp = ss(A,B,C,D)

с семью выходами и четырьмя входами, предположим, что вы разработали

Коэффициент усиления контроллера обратной связи K использование входов 1, 2 и 4 объекта в качестве входных параметров управления
Оценщик состояния с L усиления использование выходов 4, 7 и 1 объекта в качестве датчиков
Вход 3 объекта как дополнительный известный вход

Затем можно подключить контроллер и оценщик и сформировать динамический компенсатор с помощью этого кода:

controls = [1,2,4];
sensors = [4,7,1];
known = [3];
regulator = reg(sys_pp,K,L,sensors,known,controls)

Инструменты размещения полюсов

Можно использовать функции для

Вычислите матрицы K и L усиления, которые достигают желаемых положений полюса с обратной связью.
Сформируйте оценщик состояния и динамический компенсатор, используя эти усиления.

В следующей таблице приведены функции для размещения полюсов.

Функции	Описание
`estim`	Оценка состояния формы, данный коэффициент усиления оценщика
`place`	Проект размещения полюсов
`reg`	Формируйте компенсатор выходной обратной связи с учетом коэффициентов усиления обратной связи и оценки

Внимание

Размещение полюсов может быть плохо обусловлено, если вы выбираете нереальные положения полюсов. В частности, следует избегать:

Размещение нескольких полюсов в одном и том же месте.
Движущиеся полюсы, которые слабо управляемы или наблюдаемы. Это обычно требует высокого усиления, что, в свою очередь, делает всю внутреннюю структуру с обратной связью очень чувствительной к возмущениям.

См. также

estim | place | reg

Документация