Создайте фильтр Калмана для объекта, который имеет аддитивный белый шум w на входе и v на выходе, как показано на следующей схеме.

Предположим, что объект имеет следующие матрицы пространства состояний и является объектом дискретного времени с неопределенным шагом расчета (Ts = -1).

A = [1.1269   -0.4940    0.1129 
     1.0000         0         0 
          0    1.0000         0];

B = [-0.3832
      0.5919
      0.5191];

C = [1 0 0];

D = 0;

Plant = ss(A,B,C,D,-1);
Plant.InputName = 'un';
Plant.OutputName = 'yt';

Как использовать kalman, вы должны предоставить модель sys который имеет вход для шума w. Таким образом, sys не то же самое что и Plant, потому что Plant принимает входной параметр un = u + w. Можно создавать sys путем создания суммирующего соединения для входного сигнала шума.

Sum = sumblk('un = u + w');
sys = connect(Plant,Sum,{'u','w'},'yt');

Эквивалентно, можно использовать sys = Plant*[1 1].

Задайте ковариации шума. Поскольку объект имеет один вход шума и один выход, эти значения скаляры. На практике эти значения являются свойствами источников шума в вашей системе, которые вы определяете по измерению или другим знаниям вашей системы. В данном примере предположим, что оба источника шума имеют единичную ковариацию и не коррелированы (N = 0).

Q = 1;
R = 1;
N = 0;

Проектируйте фильтр.

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N);
size(kalmf)

State-space model with 4 outputs, 2 inputs, and 3 states.

Фильтр Калмана kalmf является моделью пространства состояний, имеющей два входа и четыре выхода. kalmf принимает как входы входной сигнал u объекта управления и выходной выход шумного объекта $$y=y_t+v$$. Первый выход является предполагаемым истинным выходом объекта управления $$\underset{}{\overset{ˆ}{y}}$$. Оставшиеся три выхода являются оценками состояния $$\underset{}{\overset{ˆ}{x}}$$. Исследуйте входные и выходные имена kalmf чтобы увидеть, как kalman подписывает их соответственно.

kalmf.InputName

ans = 2x1 cell
    {'u' }
    {'yt'}

kalmf.OutputName

ans = 4x1 cell
    {'yt_e'}
    {'x1_e'}
    {'x2_e'}
    {'x3_e'}

Исследуйте усиления Калмана L. Для объекта SISO с тремя состояниями, L является трехэлементным вектором-столбцом.

L

L = 3×1

    0.3586
    0.3798
    0.0817

Для примера, который показывает, как использовать kalmf чтобы уменьшить ошибку измерения из-за шума, см. «Фильтрация Калмана».

Рассмотрим объект с тремя входами, один из которых представляет шум процесса w, и двумя измеренными выходами. У объекта четыре состояния.

Принимая следующие матрицы пространства состояний, создайте sys.

A = [-0.71  0.06 -0.19 -0.17;
      0.06 -0.52 -0.03  0.30;
     -0.19 -0.03 -0.24 -0.02;
     -0.17  0.30 -0.02 -0.41];

B = [ 1.44  2.91   0;
     -1.97  0.83 -0.27;
     -0.20  1.39  1.10;
     -1.2   0    -0.28];

C = [ 0    -0.36 -1.58 0.28;
     -2.05  0     0.51 0.03];

D = zeros(2,3);

sys = ss(A,B,C,D);
sys.InputName = {'u1','u2','w'};
sys.OutputName = {'y1','y2'};

Поскольку объект имеет только один вход технологического шума, ковариация Q является скаляром. В данном примере предположим, что шум процесса имеет единичную ковариацию.

Q = 1;

kalman использует размерности Q для определения, какие входы известны, а какие являются шумовыми входами. Для скалярных Q, kalman принимает один входной параметр шума и использует последний вход, если вы не задаете обратное (см. «Объект с неизмеренными выходами»).

Для шума измерения на двух выходах задайте шумовую ковариационную матрицу 2 на 2. В данном примере используйте отклонение модулей для первого выхода и отклонение 1,3 для второго выхода. Установите значения вне диагонали на нуль, чтобы указать, что два канала шума являются некоррелированными.

R = [1 0;
     0 1.3];

Проектируйте фильтр Калмана.

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R);

Исследуйте входы и выходы. kalman использует InputName, OutputName, InputGroup, и OutputGroup свойства kalmf чтобы помочь вам отслеживать, какие входы и выходы kalmf представляют.

kalmf.InputGroup

ans = struct with fields:
     KnownInput: [1 2]
    Measurement: [3 4]

kalmf.InputName

ans = 4x1 cell
    {'u1'}
    {'u2'}
    {'y1'}
    {'y2'}

kalmf.OutputGroup

ans = struct with fields:
    OutputEstimate: [1 2]
     StateEstimate: [3 4 5 6]

kalmf.OutputName

ans = 6x1 cell
    {'y1_e'}
    {'y2_e'}
    {'x1_e'}
    {'x2_e'}
    {'x3_e'}
    {'x4_e'}

Таким образом, два известных входов u1 и u2 являются первыми двумя входами kalmf и два измеренных выхода y1 и y2 являются ли последние два входов kalmf. Для выходов kalmfпервые два являются предполагаемыми выходами, а остальные четыре - оценками состояния. Чтобы использовать фильтр Калмана, соедините эти входы с объектом и шумовые сигналы способом, подобным показанному для объекта SISO в Kalman Filtering.

Рассмотрим объект с четырьмя входами и двумя выходами. Первый и третий входы известны, в то время как второй и четвертый входы представляют шум процесса. У объект также есть два выхода, но измеряется только второй из них.

Используйте следующие матрицы пространства состояний, чтобы создать sys.

A = [-0.37  0.14 -0.01  0.04;
     0.14 -1.89  0.98 -0.11;
    -0.01  0.98 -0.96 -0.14;
     0.04 -0.11 -0.14 -0.95];

B = [-0.07 -2.32  0.68  0.10;
     -2.49  0.08  0     0.83;
      0    -0.95  0     0.54;
     -2.19  0.41  0.45  0.90];

C = [ 0     0    -0.50 -0.38;
     -0.15 -2.12 -1.27  0.65];

D = zeros(2,4);

sys = ss(A,B,C,D,-1);    % Discrete with unspecified sample time

sys.InputName = {'u1','w1','u2','w2'};
sys.OutputName = {'yun','ym'};

Как использовать kalman для разработки фильтра для этой системы используйте known и sensors входные аргументы для определения, какие входы для объекта управления известны и какие выходные параметры измеряются.

known = [1 3];
sensors = [2];

Задайте шумовые ковариации и спроектируйте фильтр.

Q = eye(2);
R = 1;
N = 0;

[kalmf,L,P] = kalman(sys,Q,R,N,sensors,known); 

Изучение входа и выхода меток kalmf показывает входы, которые ожидает фильтр, и выходы, которые он возвращает.

kalmf.InputGroup

ans = struct with fields:
     KnownInput: [1 2]
    Measurement: 3

kalmf.InputName

ans = 3x1 cell
    {'u1'}
    {'u2'}
    {'ym'}

kalmf принимает в качестве входов два известных входов sys и шумные измеренные выходы sys.

kalmf.OutputGroup

ans = struct with fields:
    OutputEstimate: 1
     StateEstimate: [2 3 4 5]

Первый выход kalmf - его оценка истинного значения измеряемого выхода объекта. Остальные выходы являются оценками состояния.