Создайте модель пространства состояний SISO, заданную следующими матрицами пространства состояний:

Задайте матрицы A, B, C и D и создайте модель пространства состояний.

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

sys =
 
  A = 
         x1    x2
   x1  -1.5    -2
   x2     1     0
 
  B = 
        u1
   x1  0.5
   x2    0
 
  C = 
       x1  x2
   y1   0   1
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

Создайте модель пространства состояний со шаг расчета 0,25 секунд и следующими матрицами пространства состояний:

Задайте матрицы пространства состояний.

A = [0 1;-5 -2];
B = [0;3];
C = [0 1];
D = 0;

Задайте шаг расчета.

Ts = 0.25;

Создайте модель пространства состояний.

sys = ss(A,B,C,D,Ts);

В данном примере рассмотрим кубик, вращающийся вокруг своего угла с тензором инерции J и демпфирующую силу F 0,2 величины. Вход в систему является приводным крутящим моментом, в то время как скорости вращения являются выходами. Матрицы пространства состояний для куба:

Задайте A, B, C и D матрицы и создайте модель пространства состояний в непрерывном времени.

J = [8 -3 -3; -3 8 -3; -3 -3 8];
F = 0.2*eye(3);
A = -J\F;
B = inv(J);
C = eye(3);
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

sys =
 
  A = 
             x1        x2        x3
   x1  -0.04545  -0.02727  -0.02727
   x2  -0.02727  -0.04545  -0.02727
   x3  -0.02727  -0.02727  -0.04545
 
  B = 
           u1      u2      u3
   x1  0.2273  0.1364  0.1364
   x2  0.1364  0.2273  0.1364
   x3  0.1364  0.1364  0.2273
 
  C = 
       x1  x2  x3
   y1   1   0   0
   y2   0   1   0
   y3   0   0   1
 
  D = 
       u1  u2  u3
   y1   0   0   0
   y2   0   0   0
   y3   0   0   0
 
Continuous-time state-space model.

sys является MIMO, поскольку система содержит 3 входы и 3 выходы, наблюдаемых из матриц C и D. Для получения дополнительной информации о моделях пространства состояний MIMO, см. MIMO Модели пространства состояний.

Создайте модель пространства состояний с помощью следующих матриц состояний в дискретном времени с несколькими входами и несколькими выходами с шагом расчета ts = 0.2 секунды:

Задайте матрицы пространства состояний и создайте модель пространства состояний MIMO в дискретном времени.

A = [-7,0;0,-10];
B = [5,0;0,2];
C = [1,-4;-4,0.5];
D = [0,-2;2,0];
ts = 0.2;
sys = ss(A,B,C,D,ts)

sys =
 
  A = 
        x1   x2
   x1   -7    0
   x2    0  -10
 
  B = 
       u1  u2
   x1   5   0
   x2   0   2
 
  C = 
        x1   x2
   y1    1   -4
   y2   -4  0.5
 
  D = 
       u1  u2
   y1   0  -2
   y2   2   0
 
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time state-space model.

Создайте матрицы пространства состояний и задайте шаг расчета.

A = [0 1;-5 -2];
B = [0;3];
C = [0 1];
D = 0;
Ts = 0.05;

Создайте модель пространства состояний, задав состояние и входные имена с помощью пар "имя-значение".

sys = ss(A,B,C,D,Ts,'StateName',{'Position' 'Velocity'},...
    'InputName','Force');

Количество имен состояний и входных параметров должно совпадать с размерностями A, B, C, и D.

Наименование входов и выходов может быть полезно при работе с графиками отклика для систем MIMO.

step(sys)

Заметьте входное имя Force в названии переходного процесса.

В данном примере создайте модель пространства состояний с теми же свойствами времени и входных модулей, унаследованными от другой модели пространства состояний. Рассмотрим следующие модели пространства состояний:

Сначала создайте модель пространства состояний sys1 с TimeUnit и InputUnit значение свойства установлено на 'minutes'.

A1 = [-1.5,-2;1,0];
B1 = [0.5;0];
C1 = [0,1];
D1 = 5;
sys1 = ss(A1,B1,C1,D1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes');

Проверьте, что свойства модулей времени и входных параметров sys1 имеют значение 'minutes'.

propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]

propValues1 = 1x2 cell
    {'minutes'}    {'minutes'}

Создайте вторую модель пространства состояний с свойствами, унаследованными от sys1.

A2 = [7,-1;0,2];
B2 = [0.85;2];
C2 = [10,14];
D2 = 2;
sys2 = ss(A2,B2,C2,D2,sys1);

Проверьте, что временные и входные модули sys2 были унаследованы от sys1.

propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]

propValues2 = 1x2 cell
    {'minutes'}    {'minutes'}

В этом примере вы создадите статическую модель пространства состояний усиления MIMO.

Рассмотрим следующую статическую матрицу усиления с двумя входами и двумя выходами:

Задайте матрицу усиления и создайте статическую модель пространства состояний усиления.

D = [2,4;3,5];
sys1 = ss(D)

sys1 =
 
  D = 
       u1  u2
   y1   2   4
   y2   3   5
 
Static gain.

Вычислите модель пространства состояний следующей передаточной функции:

Создайте модель передаточной функции.

H = [tf([1 1],[1 3 3 2]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])];

Преобразуйте эту модель в модель пространства состояний.

sys = ss(H);

Исследуйте размер модели пространства состояний.

size(sys)

State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states.

Количество состояний равно совокупному порядку записей SISO в H (s).

Чтобы получить минимальную реализацию H (s), введите

sys = ss(H,'minimal');
size(sys)

State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states.

Получившаяся модель имеет порядок трех, что является минимальным количеством состояний, необходимых для представления H (s). Чтобы увидеть это количество состояний, рефактор H (s) как продукт системы первого порядка и системы второго порядка.

В этом примере извлечите измеренные и шумовые компоненты идентифицированной полиномиальной модели в две отдельные модели пространства состояний.

Загрузка полиномиальной модели Бокса-Дженкинса ltiSys в identifiedModel.mat.

load('identifiedModel.mat','ltiSys');

ltiSys - идентифицированная модель вида в дискретном времени: $$y(t)=\frac{B}{F}u(t)+\frac{C}{D}e(t)$$, где $$\frac{B}{F}$$ представляет измеренный компонент, $$\frac{C}{D}$$ шумовым компонентом.

Извлеките измеренные и шумовые компоненты как модели пространства состояний.

sysMeas = ss(ltiSys,'measured') 

sysMeas =
 
  A = 
            x1       x2
   x1    1.575  -0.6115
   x2        1        0
 
  B = 
        u1
   x1  0.5
   x2    0
 
  C = 
            x1       x2
   y1  -0.2851   0.3916
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  Input delays (sampling periods): 2 
 
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.

sysNoise = ss(ltiSys,'noise')

sysNoise =
 
  A = 
           x1      x2      x3
   x1   1.026   -0.26  0.3899
   x2       1       0       0
   x3       0     0.5       0
 
  B = 
       v@y1
   x1  0.25
   x2     0
   x3     0
 
  C = 
             x1        x2        x3
   y1     0.319  -0.04738   0.07106
 
  D = 
          v@y1
   y1  0.04556
 
Input groups:        
    Name     Channels
    Noise       1    
                     
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.

Измеренный компонент может служить моделью объекта управления, в то время как шумовой компонент может использоваться в качестве модели возмущения для разработки системы управления.

Создайте модель пространства дескрипторов (E ≠ I).

a = [2 -4; 4 2];
b = [-1; 0.5];
c = [-0.5, -2];
d = [-1];
e = [1 0; -3 0.5];
sysd = dss(a,b,c,d,e);

Вычислите явную реализацию системы (E = I).

syse = ss(sysd,'explicit')

syse =
 
  A = 
        x1   x2
   x1    2   -4
   x2   20  -20
 
  B = 
       u1
   x1  -1
   x2  -5
 
  C = 
         x1    x2
   y1  -0.5    -2
 
  D = 
       u1
   y1  -1
 
Continuous-time state-space model.

Подтвердите, что дескриптор и явная реализация имеют эквивалентную динамику.

bodeplot(sysd,syse,'g--')

В этом примере показано, как создать пространство состояний genss модель, имеющая как фиксированные, так и настраиваемые параметры.

где a и b - настраиваемые параметры, начальные значения которых -1 и 3, соответственно.

Создайте настраиваемые параметры, используя realp.

a = realp('a',-1);
b = realp('b',3);

Задайте обобщенную матрицу, используя алгебраические выражения a и b.

A = [1 a+b;0 a*b];

A - обобщенная матрица, Blocks свойство содержит a и b. Начальное значение A является [1 2;0 -3], от начальных значений a и b.

Создайте матрицы пространства состояний с фиксированным значением.

B = [-3.0;1.5];
C = [0.3 0];
D = 0;

Использовать ss для создания модели пространства состояний.

sys = ss(A,B,C,D)

sys =

  Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 2 states, and the following blocks:
    a: Scalar parameter, 2 occurrences.
    b: Scalar parameter, 2 occurrences.

Type "ss(sys)" to see the current value, "get(sys)" to see all properties, and "sys.Blocks" to interact with the blocks.

sys является обобщенной моделью LTI (genss) с настраиваемыми параметрами a и b.

В данном примере рассмотрим модель пространства состояний SISO, заданную следующими матрицами пространства состояний:

Принимая во внимание вход задержку 0,5 секунды и выход задержку 2,5 секунды, создайте объект модели пространства состояний, чтобы представлять матрицы A, B, C и D.

A = [-1.5,-2;1,0];
B = [0.5;0];
C = [0,1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D,'InputDelay',0.5,'OutputDelay',2.5)

sys =
 
  A = 
         x1    x2
   x1  -1.5    -2
   x2     1     0
 
  B = 
        u1
   x1  0.5
   x2    0
 
  C = 
       x1  x2
   y1   0   1
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
  Input delays (seconds): 0.5 
  Output delays (seconds): 2.5 
 
Continuous-time state-space model.

Можно также использовать get команда для отображения всех свойств объекта MATLAB.

get(sys)

                A: [2x2 double]
                B: [2x1 double]
                C: [0 1]
                D: 0
                E: []
           Scaled: 0
        StateName: {2x1 cell}
        StatePath: {2x1 cell}
        StateUnit: {2x1 cell}
    InternalDelay: [0x1 double]
       InputDelay: 0.5000
      OutputDelay: 2.5000
               Ts: 0
         TimeUnit: 'seconds'
        InputName: {''}
        InputUnit: {''}
       InputGroup: [1x1 struct]
       OutputName: {''}
       OutputUnit: {''}
      OutputGroup: [1x1 struct]
            Notes: [0x1 string]
         UserData: []
             Name: ''
     SamplingGrid: [1x1 struct]

Для получения дополнительной информации об указании временной задержки для модели LTI, смотрите Определение временных задержек.

В данном примере рассмотрим объект системы в пространстве состояний, который представляет следующие матрицы состояний:

Создайте объект пространства состояний sys использование ss команда.

A = [-1.2,-1.6,0;1,0,0;0,1,0];
B = [1;0;0];
C = [0,0.5,1.3];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

Затем вычислите модель пространства состояний с обратной связью для модуля отрицательного усиления и найдите полюса объекта системы в пространстве состояний с обратной связью sysFeedback.

sysFeedback = feedback(sys,1);
P = pole(sysFeedback)

P = 3×1 complex

  -0.2305 + 1.3062i
  -0.2305 - 1.3062i
  -0.7389 + 0.0000i

Цикл обратной связи для единичного усиления стабилен, так как все полюсы имеют отрицательные действительные части. Проверка полюсов с обратной связью обеспечивает двоичную оценку устойчивости. На практике более полезно знать, насколько устойчива (или хрупка) стабильность. Одним из признаков робастности является то, насколько коэффициент усиления цикла может измениться до потери устойчивости. Можно использовать корневой годограф, чтобы оценить область значений k значения, для которых цикл является стабильным.

rlocus(sys)

Изменения в усилении цикла являются только одним аспектом устойчивой устойчивости. В целом, несовершенное моделирование объекта означает, что и коэффициент усиления, и фаза точно не известны. Поскольку ошибки моделирования имеют наиболее пагубный эффект вблизи частоты среза усиления (частота, где коэффициент усиления без разомкнутого контура составляет 0 дБ), также важно, сколько изменений фазы может быть допустимо на этой частоте.

Вы можете отобразить коэффициент усиления и запасов по фазе на Диаграмму Боде следующим образом.

bode(sys)
grid

Более подробный пример см. в разделе Оценка усиления и Запасах по фазе.

В данном примере спроектируйте 2-DOF ПИД-регуляторы с целевой шириной полосы 0,75 рад/с для системы, представленной следующими матрицами:

Создайте объект пространства состояний sys использование ss команда.

A = [-0.5,-0.1;1,0];
B = [1;0];
C = [0,1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D)

sys =
 
  A = 
         x1    x2
   x1  -0.5  -0.1
   x2     1     0
 
  B = 
       u1
   x1   1
   x2   0
 
  C = 
       x1  x2
   y1   0   1
 
  D = 
       u1
   y1   0
 
Continuous-time state-space model.

Используя целевую полосу пропускания, используйте pidtune чтобы сгенерировать контроллер 2-DOF.

wc = 0.75;
C2 = pidtune(sys,'PID2',wc)

C2 =
 
                       1              
  u = Kp (b*r-y) + Ki --- (r-y) + Kd*s (c*r-y)
                       s              

  with Kp = 0.513, Ki = 0.0975, Kd = 0.577, b = 0.344, c = 0
 
Continuous-time 2-DOF PID controller in parallel form.

Использование типа 'PID2' причины pidtune чтобы сгенерировать контроллер 2-DOF, представленный как pid2 объект. Отображение подтверждает этот результат. На отображении также показано, что pidtune настраивает все коэффициенты контроллера, включая веса уставок b и c, для баланса эффективности и робастности.

Интерактивную настройку ПИД в Live Editor см. в задаче Tune ПИД-регулятора Live Editor. Эта задача позволяет вам в интерактивном режиме проектировать ПИД-регулятор и автоматически генерирует код MATLAB для вашего live скрипта.

Для интерактивной настройки ПИД в автономном приложении используйте PID Tuner. Смотрите ПИД-регулятор Design для Fast Reference Tracking для примера разработки контроллера с помощью приложения.

Рассмотрим космический объект G с пятью входами и четырьмя выходами и контроллером обратной связи пространства состояний K с тремя входами и двумя выходами. Выходные выходы 1, 3 и 4 объекта G должен быть подключен контроллер K входы и контроллер выходы на входы 4 и 2 объекта управления.

В данном примере рассмотрим две модели пространства состояний в непрерывном времени для обеих G и K представлено следующим набором матриц:

AG = [-3,0.4,0.3;-0.5,-2.8,-0.8;0.2,0.8,-3];
BG = [0.4,0,0.3,0.2,0;-0.2,-1,0.1,-0.9,-0.5;0.6,0.9,0.5,0.2,0];
CG = [0,-0.1,-1;0,-0.2,1.6;-0.7,1.5,1.2;-1.4,-0.2,0];
DG = [0,0,0,0,-1;0,0.4,-0.7,0,0.9;0,0.3,0,0,0;0.2,0,0,0,0];
sysG = ss(AG,BG,CG,DG)

sysG =
 
  A = 
         x1    x2    x3
   x1    -3   0.4   0.3
   x2  -0.5  -2.8  -0.8
   x3   0.2   0.8    -3
 
  B = 
         u1    u2    u3    u4    u5
   x1   0.4     0   0.3   0.2     0
   x2  -0.2    -1   0.1  -0.9  -0.5
   x3   0.6   0.9   0.5   0.2     0
 
  C = 
         x1    x2    x3
   y1     0  -0.1    -1
   y2     0  -0.2   1.6
   y3  -0.7   1.5   1.2
   y4  -1.4  -0.2     0
 
  D = 
         u1    u2    u3    u4    u5
   y1     0     0     0     0    -1
   y2     0   0.4  -0.7     0   0.9
   y3     0   0.3     0     0     0
   y4   0.2     0     0     0     0
 
Continuous-time state-space model.

AK = [-0.2,2.1,0.7;-2.2,-0.1,-2.2;-0.4,2.3,-0.2];
BK = [-0.1,-2.1,-0.3;-0.1,0,0.6;1,0,0.8];
CK = [-1,0,0;-0.4,-0.2,0.3];
DK = [0,0,0;0,0,-1.2];
sysK = ss(AK,BK,CK,DK)

sysK =
 
  A = 
         x1    x2    x3
   x1  -0.2   2.1   0.7
   x2  -2.2  -0.1  -2.2
   x3  -0.4   2.3  -0.2
 
  B = 
         u1    u2    u3
   x1  -0.1  -2.1  -0.3
   x2  -0.1     0   0.6
   x3     1     0   0.8
 
  C = 
         x1    x2    x3
   y1    -1     0     0
   y2  -0.4  -0.2   0.3
 
  D = 
         u1    u2    u3
   y1     0     0     0
   y2     0     0  -1.2
 
Continuous-time state-space model.

Определите feedout и feedin векторы, основанные на входах и выходах, которые будут соединены в цикле обратной связи.

feedin = [4 2];
feedout = [1 3 4];
sys = feedback(sysG,sysK,feedin,feedout,-1)

sys =
 
  A = 
           x1      x2      x3      x4      x5      x6
   x1      -3     0.4     0.3     0.2       0       0
   x2    1.18   -2.56    -0.8    -1.3    -0.2     0.3
   x3  -1.312   0.584      -3    0.56    0.18   -0.27
   x4   2.948  -2.929   -2.42  -0.452   1.974   0.889
   x5   -0.84   -0.11     0.1    -2.2    -0.1    -2.2
   x6   -1.12   -0.26      -1    -0.4     2.3    -0.2
 
  B = 
            u1       u2       u3       u4       u5
   x1      0.4        0      0.3      0.2        0
   x2    -0.44       -1      0.1     -0.9     -0.5
   x3    0.816      0.9      0.5      0.2        0
   x4  -0.2112    -0.63        0        0      0.1
   x5     0.12        0        0        0      0.1
   x6     0.16        0        0        0       -1
 
  C = 
           x1      x2      x3      x4      x5      x6
   y1       0    -0.1      -1       0       0       0
   y2  -0.672  -0.296     1.6    0.16    0.08   -0.12
   y3  -1.204   1.428     1.2    0.12    0.06   -0.09
   y4    -1.4    -0.2       0       0       0       0
 
  D = 
          u1     u2     u3     u4     u5
   y1      0      0      0      0     -1
   y2  0.096    0.4   -0.7      0    0.9
   y3  0.072    0.3      0      0      0
   y4    0.2      0      0      0      0
 
Continuous-time state-space model.

size(sys)

State-space model with 4 outputs, 5 inputs, and 6 states.

sys - результирующая модель пространства состояний замкнутого цикла, полученная путем соединения заданных входов и выходов G и K.