Стабильность цикла обратной связи

Стабильность обычно означает, что все внутренние сигналы остаются ограниченными. Это стандартное требование для систем управления, чтобы избежать потери контроля и повреждения оборудования. Для линейных систем обратной связи стабильность может быть оценена путем просмотра полюсов передаточной функции с обратной связью. Рассмотрим, например, цикл обратной связи SISO:

Фигура 1: Цикл обратной связи SISO.

Для модуля цикла коэффициента усиления kможно вычислить передаточную функцию с обратной связью T использование:

G = tf([.5 1.3],[1 1.2  1.6 0]);
T = feedback(G,1);

Для получения полюсов T, type

pole(T)

ans =

  -0.2305 + 1.3062i
  -0.2305 - 1.3062i
  -0.7389 + 0.0000i

Цикл обратной связи для k=1 является стабильным, поскольку все полюса имеют отрицательные действительные части.

Насколько стабильна?

Проверка полюсов с обратной связью дает нам двоичную оценку устойчивости. На практике более полезно знать, насколько устойчива (или хрупка) стабильность. Одним из признаков робастности является то, насколько коэффициент усиления цикла может измениться до потери устойчивости. Можно использовать корневой годограф, чтобы оценить область значений k значения, для которых цикл является стабильным:

rlocus(G)

Щелчок по точке, где локус пересекает ось Y, показывает, что этот цикл обратной связи стабилен для

Эта область значений показывает, что с k=1, коэффициент усиления цикла может увеличить 270%, прежде чем вы потеряете стабильность.

Коэффициент усиления и Запасов по фазе

Изменения в усилении цикла являются только одним аспектом устойчивой устойчивости. В целом, несовершенное моделирование объекта означает, что и коэффициент усиления, и фаза точно не известны. Поскольку ошибки моделирования являются наиболее повреждающими вблизи частоты среза усиления (частота, где коэффициент усиления без разомкнутого контура составляет 0 дБ), также важно, сколько изменений фазы может быть допустимо на этой частоте.

Запас по фазе измеряет, сколько изменений фазы необходимо на частоте среза усиления, чтобы потерять стабильность. Точно так же запас по амплитуде измеряет, какое относительное изменение по усилению необходимо на частоте среза по усилению, чтобы потерять стабильность. Вместе эти два числа дают оценку «запаса прочности» для устойчивости с обратной связью. Чем меньше запас устойчивости, тем более хрупкая стабильность.

Вы можете отобразить коэффициент усиления и запасов по фазе на Диаграмму Боде следующим образом. Сначала создайте график:

bode(G), grid

Затем щелкните правой кнопкой мыши график и выберите подменю «Характеристики - > Минимальные запасы устойчивости». Наконец, нажмите на синие маркеры точек. Получившийся график показан ниже:

Это указывает на запас по амплитуде около 9 дБ и запас по фазе около 45 степени. Соответствующая переходная характеристика с обратной связью демонстрирует около 20% перерегулирования и некоторые колебания.

step(T), title('Closed-loop response for k=1')

Если увеличить коэффициент усиления до k=2, запасы устойчивости уменьшаются до

[Gm,Pm] = margin(2*G);
GmdB = 20*log10(Gm)   % gain margin in dB
Pm  % phase margin in degrees

GmdB =

    2.7471


Pm =

    8.6328

и реакция с обратной связью имеет плохо демпфированные колебания, признак близкой нестабильности.

step(feedback(2*G,1)), title('Closed-loop response for k=2')

Системы с несколькими пересечениями коэффициентов усиления или фазы

Некоторые системы имеют несколько переходов по усилению или частотам среза фазы, что приводит к нескольким значениям усиления или запасу по фазе. Для примера рассмотрите цикл обратной связи

Фигура 2: Цикл обратной связи с несколькими фазными перекрестиями

Реакция с обратной связью для k=1 является стабильным:

G = tf(20,[1 7]) * tf([1 3.2 7.2],[1 -1.2 0.8]) * tf([1 -8 400],[1 33 700]);
T = feedback(G,1);
step(T), title('Closed-loop response for k=1')

Чтобы оценить, насколько устойчива этот цикл, постройте график ее отклика Bode:

bode(G), grid

Затем щелкните правой кнопкой мыши график и выберите подменю «Характеристики - > Все запасы устойчивости», чтобы отобразить все частоты среза и связанные запасы устойчивости. Получившийся график показан ниже.

Обратите внимание, что существует два пересечения фаз на 180 ° с соответствующими запасами по амплитуде -9.35dB и + 10,6 дБ. Отрицательные запасы по амплитуде указывают на то, что стабильность теряется путем уменьшения усиления, в то время как положительные запасы по амплитуде указывают на то, что стабильность теряется путем увеличения усиления. Это подтверждается построением графика переходной характеристики с обратной связью для изменения коэффициента усиления 6dB плюс/минус около k=1:

k1 = 2;     T1 = feedback(G*k1,1);
k2 = 1/2;   T2 = feedback(G*k2,1);
step(T,'b',T1,'r',T2,'g',12),
legend('k = 1','k = 2','k = 0.5')

График показывает увеличенные колебания как для меньших, так и для больших значений усиления.

Можно использовать команду allmargin для вычисления всех запасов устойчивости. Обратите внимание, что запасы по амплитуде выражены как коэффициенты усиления, а не как дБ. Использование mag2db для преобразования значений в дБ.

m = allmargin(G)

GainMargins_dB = mag2db(m.GainMargin)

m = 

  struct with fields:

     GainMargin: [0.3408 3.3920]
    GMFrequency: [1.9421 16.4807]
    PhaseMargin: 68.1178
    PMFrequency: 7.0762
    DelayMargin: 0.1680
    DMFrequency: 7.0762
         Stable: 1


GainMargins_dB =

   -9.3510   10.6091