Канонические реализации в пространстве состояний

Модели в пространстве состояний могут быть реализованы в следующих стандартных формах:

Модальная каноническая форма
Компаньонская каноническая форма
Наблюдаемая каноническая форма
Управляемая каноническая форма

Модальная каноническая форма

В модальной форме A является блок-диагональной матрицей. Размер блока обычно 1 на 1 для реальных собственных значений и 2 на 2 для сложных собственных значений. Однако, если существуют повторные собственные значения или кластеры ближайших собственных значений, размер блока может быть больше.

Например, для системы с собственными значениями $(λ_{1}, σ \pm j ω, λ_{2})$ , модальная матрица A имеет вид

$[\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & σ & ω & 0 \\ 0 & - ω & σ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{2} \end{matrix}]$

Компаньонская каноническая форма

В сопутствующей реализации характеристический полином системы явно появляется в самом правом столбце матрицы A. Получить сопутствующую каноническую форму системы можно с помощью canoncanonкоманды (System Identification Toolbox) следующим образом:

csys = canon(sys,'companion')

Для системы с характеристическим полиномом

$P (s) = s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}$

соответствующая матрица A компаньона

$A = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} \end{matrix} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} - α_{n} \\ - α_{n - 1} \\ - α_{n - 2} \\ - α_{n - 3} \\ ⋮ \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

Сопутствующее преобразование требует, чтобы система была управляема с первого входа. Преобразование в сопутствующую форму основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для порядков среднего уровня. Следовательно, избегайте использования его для расчетов, когда это возможно. Близкая каноническая форма совпадает с наблюдаемой канонической формой.

Наблюдаемая каноническая форма

Наблюдаемая каноническая форма является такой же, как и близкая каноническая форма, где характерный полином системы явно появляется в самом правом столбце A матрица. Вы можете получить наблюдаемую каноническую форму своей системы с помощью canon команда следующим образом:

csys = canon(sys,'companion')

Для системы с заданной передаточной функцией

$\frac{Q (s)}{P (s)} = \frac{b_{0} s^{n} + b_{1} s^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} s + b_{n}}{s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}}$

соответствующие матрицы:

$A_{o} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} \end{matrix} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} - α_{n} \\ - α_{n - 1} \\ - α_{n - 2} \\ - α_{n - 3} \\ ⋮ \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

$B_{o} = [\begin{array}{l} b_{n} - a_{n} b_{0} \\ b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{0} \\ b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{0} \\ ⋮ \\ b_{1} - a_{1} b_{0} \end{array}]$

$C_{o} = [\begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & \dots & 0 & 1 \end{matrix}]$

$D_{o} = b_{0}$

Наблюдаемая каноническая форма, которая является такой же, как и близкая форма, плохо обусловлена для большинства расчетов в пространстве состояний. Преобразование системы в сопутствующую форму основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для порядков среднего уровня. Следовательно, избегайте использования его для расчетов, когда это возможно.

Управляемая каноническая форма

Управляемая каноническая форма системы является транспонированием ее наблюдаемой канонической формы, где характерный полином системы появляется явным образом в последней строке A матрица.

Для системы с заданной передаточной функцией

$\frac{Q (s)}{P (s)} = \frac{b_{0} s^{n} + b_{1} s^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} s + b_{n}}{s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}}$

соответствующие матрицы:

$A_{c} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n} \end{array} & \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n - 1} \end{array} & \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n - 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

$B_{c} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}]$

$C_{c} = [\begin{matrix} \begin{matrix} b_{n} - a_{n} b_{0} & b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{0} \end{matrix} & b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{0} & \begin{matrix} \dots & b_{1} - a_{1} b_{0} \end{matrix} \end{matrix}]$

$D_{c} = b_{0}$

Отношения между наблюдаемыми и управляемыми каноническими реализациями следующие:

$\begin{array}{l} A_{c} = A_{o}^{T} \\ B_{c} = C_{o}^{T} \\ C_{c} = B_{o}^{T} \\ D_{c} = D_{o} \end{array}$

Управляемая каноническая форма полезна для проектирования контроллера с помощью метода размещения полюсов. Однако преобразование системы в сопутствующую форму основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для порядков среднего уровня. Следовательно, избегайте использования управляемой формы для расчетов, когда это возможно.

См. также

canon | ss

Документация