Полиномы являются аппроксимирующими функциями по выбору, когда гладкая функция должна быть аппроксимирована локально. Например, усеченный ряд Тейлора
обеспечивает удовлетворительное приближение для f(x), является ли f достаточно гладкой и x достаточно близкой к a. Но если функция должна быть аппроксимирована на большем интервале, степень, n, аппроксимирующего полинома, возможно, должна быть выбрана неприемлемо большой. Альтернатива должна подразделить интервал [a..b] приближения в достаточно маленькие интервалы [ξ <reservedrangesplaceholder12>.ξ <reservedrangesplaceholder11> +1] с a = ξ1 <··· <ξ <reservedrangesplaceholder9> +1 = b, так, чтобы на каждом таком интервале полином pj относительно низкой степени мог предоставить хорошее приближение f. Это может быть сделано даже таким образом, чтобы полиномиальные кусочки плавно смешивались, то есть так, что полученная исправленная или композитная функция s(x) которая равна pj(x) для x ∊ [, j j + 1], все j имеет несколько непрерывных производных. Любая такая функция плавного кусочного полинома называется сплайном. И. Й. Шёнберг ввёл этот термин, потому что дважды непрерывно различимый кубический сплайн с достаточно маленькой первой производной аппроксимирует форму сплайна рисовальщика.
Существует два обычно используемых способа представления полиномиального сплайна, ppform и B-форма. В этом тулбоксе сплайн в ppform часто упоминается как piecewise polynomial, в то время как кусочный полином в B-форме часто упоминается как сплайн. Это отражает тот факт, что кусочные полиномы и (полиномиальные) сплайны являются всего лишь двумя различными представлениями одного и того же.
ppform многочленного сплайна порядка <reservedrangesplaceholder2> предоставляет описание с точки зрения его пропусков ξ1.ξl+1 и местные многочленные коэффициенты cji его l частей.
Для примера кубический сплайн имеет порядок 4, соответствующий тому, что он требует четырех коэффициентов, чтобы задать кубический полином. ppform удобен для оценки и других применений сплайна.
B-форма стала стандартным способом представления сплайна во время его конструкции, потому что B-форма облегчает построение требований плавности по пропускам и приводит к полосно-линейным системам. B-форма описывает сплайн как взвешенную сумму
B-сплайнов необходимого порядка k, с их количеством, n, по крайней мере, столько же, сколько и k -1 плюс количество полиномиальных частей, которые составляют сплайн. Здесь, <reservedrangesplaceholder19> <reservedrangesplaceholder18> = B (· | tj..., tj + k), B-сплайн <reservedrangesplaceholder13> th порядка <reservedrangesplaceholder12> для последовательности <reservedrangesplaceholder11> 1 <reservedrangesplaceholder10> 2 узла ··· <reservedrangesplaceholder9> + k. В частности, Bj,k кусочного полинома степени < k, с пропусками tj,..., tj + k, неотрицательна, является нулем за пределами интервала [tj,.. tj + k] и настолько нормирована, что
Кратность узлов регулирует гладкость, следующим образом: Если в последовательности tj в точности r раз встречается число,... tj + k, то Bj,k и его первые k-r-1 производные непрерывны через пропуск, в то время как (k-r)-я производная имеет переход в Со всеми этими свойствами B-сплайна можно экспериментировать очень визуально и интерактивно, используя командуbspligui.
