Класс: dssm
Прогнозные состояния и наблюдения диффузных моделей пространства состояний
[ возвращает прогнозируемые наблюдения (Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0)Y) и их соответствующие отклонения (YMSE) от прогноза модели рассеянного пространства состояний Mdl использование numPeriods прогнозные и выборочные наблюдения Y0.
[ использует дополнительные опции, заданные одним или несколькими Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0,Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар. Для примера, для моделей пространства состояний, которые включают линейный регрессионый компонент в модель наблюдения, включают данные предиктора в выборке, данные предиктора для прогнозируемого горизонта и коэффициент регрессии.
Предположим, что скрытый процесс является случайной ходьбой. Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100;
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
u = randn(T,1);
x = cumsum([x0;u]);
x = x(2:end);Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Создайте модель рассеянного пространства состояний с помощью матриц коэффициентов. Задайте, что начальное распределение состояний рассеяно.
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',2)Mdl =
State-space model type: dssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 Inf
State types
x1
Diffuse
Mdl является dssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне.
Прогнозируйте наблюдения 10 периодов в будущее и оценивайте средние квадратичные невязки прогнозов.
numPeriods = 10; [ForecastedY,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с откликами в выборке и 95% интервалами прогноза типа Wald.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedY - 1.96*sqrt(YMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedY + 1.96*sqrt(YMSE); figure plot(T-20:T,y(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedY,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[y(end)*ones(3,1),[ForecastedY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'Observed Responses and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('Responses') legend({'Observations','Forecasted observations','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Прогнозные интервалы разгораются, потому что процесс нестационарный.
Предположим, что интерес представляет линейная связь между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (ННП). Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символически, и в форме пространство состояний, модель является
где:
- уровень безработицы в момент t.
- наблюдаемое изменение уровня безработицы, отклоняемое возвратом nGNP ().
- Гауссов ряд нарушений порядка состояния, имеющих среднее 0 и неизвестное стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит, среди прочего, уровень безработицы и серию nGNP.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные, взяв естественный логарифм серии nGNP и удалив стартовую NaN значения из каждой серии.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); y = diff(DataTable.UR(~isNaN)); T = size(gnpn,1); % The sample size Z = price2ret(gnpn);
Этот пример продолжает использовать серию без NaN значения. Однако, используя среду фильтра Калмана, программное обеспечение может включать серии, содержащие отсутствующие значения.
Определите, насколько хорошо модель прогнозирует наблюдения, удалив последние 10 наблюдений для сравнения.
numPeriods = 10; % Forecast horizon isY = y(1:end-numPeriods); % In-sample observations oosY = y(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample observations ISZ = Z(1:end-numPeriods); % In-sample predictors OOSZ = Z(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample predictors
Задайте матрицы коэффициентов.
A = NaN; B = NaN; C = 1;
Создайте модель пространства состояний с помощью dssm путем подачи матриц коэффициентов и определения, что значения состояний исходят из диффузного распределения. Спецификация диффуза указывает на полное невежество о моментах начального распределения.
StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);Оцените параметры. Задайте регрессионный компонент и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' Аргументы пары "имя-значение", соответственно. Отобразите оценки и всю диагностическую информацию оптимизации. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам.
params0 = [0.3 0.2]; % Initial values chosen arbitrarily Beta0 = 0.1; [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0,... 'lb',[-Inf 0 -Inf]);
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size: 60
Logarithmic likelihood: -110.477
Akaike info criterion: 226.954
Bayesian info criterion: 233.287
| Coeff Std Err t Stat Prob
--------------------------------------------------------
c(1) | 0.59436 0.09408 6.31738 0
c(2) | 1.52554 0.10758 14.17991 0
y <- z(1) | -24.26161 1.55730 -15.57930 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | 2.54764 0 Inf 0
EstMdl является dssm модель, и вы можете получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Прогнозные наблюдения за прогнозным горизонтом. EstMdl не хранит набор данных, поэтому необходимо передать его в соответствующих аргументах пары "имя-значение".
[fY,yMSE] = forecast(EstMdl,numPeriods,isY,'Predictors0',ISZ,... 'PredictorsF',OOSZ,'Beta',estParams(end));
fY вектор 10 на 1, содержащий прогнозируемые наблюдения и yMSE вектор 10 на 1, содержащий отклонения прогнозируемых наблюдений.
Получите 95% интервалы прогноза типа Wald. Постройте график прогнозируемых наблюдений с их истинными значениями и интервалами прогноза.
ForecastIntervals(:,1) = fY - 1.96*sqrt(yMSE); ForecastIntervals(:,2) = fY + 1.96*sqrt(yMSE); figure h = plot(dates(end-numPeriods-9:end-numPeriods),isY(end-9:end),'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),oosY,'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),fY,'--r',... dates(end-numPeriods+1:end),ForecastIntervals,':b',... dates(end-numPeriods:end-numPeriods+1),... [isY(end)*ones(4,1),[oosY(1);ForecastIntervals(1,:)';fY(1)]],':k',... 'LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('Change in unemployment rate') legend(h([1,3,4]),{'Observations','Forecasted responses',... '95% forecast intervals'}) title('Observed and Forecasted Changes in the Unemployment Rate')
Предположим, что скрытый процесс является случайной ходьбой. Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений , принимая, что серия начинается с 1,5.
T = 100;
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
u = randn(T,1);
x = cumsum([x0;u]);
x = x(2:end);Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.
Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре матрицы коэффициентов.
A = 1; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Создайте модель рассеянного пространства состояний с помощью матриц коэффициентов. Задайте, что начальное распределение состояний рассеяно.
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',2)Mdl =
State-space model type: dssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 Inf
State types
x1
Diffuse
Mdl является dssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне.
Прогнозируйте состояния 10 периодов в будущее и оценивайте средние квадратичные невязки прогнозов.
numPeriods = 10; [~,~,ForecastedX,XMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте график прогнозов с состояниями в выборке и 95% интервалами прогноза типа Wald.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedX - 1.96*sqrt(XMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedX + 1.96*sqrt(XMSE); figure plot(T-20:T,x(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedX,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[x(end)*ones(3,1),[ForecastedX(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'State Values and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('State value') legend({'State Values','Forecasted states','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Прогнозные интервалы разгораются, потому что процесс нестационарный.
Mdl не сохраняет данные отклика, данные предиктора и коэффициенты регрессии. Поставляйте их при необходимости с помощью соответствующих входов или аргументов пары "имя-значение".
Фильтр Калмана принимает отсутствующие данные, не обновляя фильтрованные оценки состояния, соответствующие отсутствующим наблюдениям. Другими словами, предположим, что в период t отсутствует наблюдение. Затем прогноз состояния для t периода на основе предыдущих наблюдений t-1 и отфильтрованного состояния для t периода эквивалентны.
[1] Дурбин Дж., и С. Дж. Копман. Анализ временных рядов по методам пространства состояний. 2nd ed. Oxford: Oxford University Press, 2012.