Симулируйте состояния изменяющейся во времени модели пространства состояний с помощью сглаживания симуляции

Открыть скрипт

Этот пример генерирует данные из известной модели, подгоняет модель пространства состояний к данным, а затем моделирует ряд из подобранной модели, используя более плавную симуляцию.

Предположим, что латентный процесс содержит модель AR (2) и MA (1). Существует 50 периодов, и процесс MA (1) выпадает из модели на последние 25 периодов. Уравнение состояния для первых 25 периодов

$\begin{array}{l}
{x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}}\\
{x_{2,t}} = {u_{2,t}} + 0.6{u_{2,t - 1}},
\end{array}$

и за последние 25 периодов это

${x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}},$

где $u_{1,t}$ и $u_{2,t}$ являются Гауссовыми со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Принимая, что серия начинается с 1,5 и 1, соответственно, генерируют случайную серию из 50 наблюдений и $x_{1,t}$ . $x_{2,t}$

T = 50;
ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1);
MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = [1.5 1; 1.5 1];
rng(1);
x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),...
    [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];

Последние 25 значений для моделируемых данных MA (1) NaN значения.

Предположим далее, что латентные процессы измеряются с помощью

${y_t} = 2\left( {{x_{1,t}} + {x_{2,t}}} \right) + {\varepsilon _t},$

за первые 25 периодов, и

${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$

за последние 25 периодов, где $\varepsilon_t$ Гауссов со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);

Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний. Предполагая, что коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель пространства состояний является

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}$

за первые 25 периодов,

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$

для периода 26, и

$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$

за последние 24 периода.

Написание функции, которая задает, как параметры в params сопоставить с матрицами модели пространства состояний, начальными значениями состояний и типом состояния.


% Copyright 2015 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T)
%AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function
%
% This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B,
% C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0
% and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the
% state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is
% the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is
% just the AR(2) model.
    A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]};
    B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; 
    C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};
    Mean0 = ones(4,1);
    Cov0 = 10*eye(4);
    StateType = [0 0 0 0];
    A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]};
    B2 = {[1; 0]};
    A3 = {[params(1) params(2); 1 0]};
    B3 = {[1; 0]}; 
    C3 = {params(5)*[1 0]};
    A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)];
    B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)];
    C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)];
    D = 1;
end

Сохраните этот код как файл с именем AR2MAParamMap на пути MATLAB ®.

Создайте модель пространства состояний путем передачи функции AR2MAParamMap как указатель на функцию, чтобы ssm.

Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));

ssm неявно создает модель пространства состояний. Обычно вы не можете проверить неявно определенную модель пространства состояний.

Симулируйте один путь состояний из MDL, используя более плавную симуляцию. Задайте, что функция отображения параметра в матрицу имеет семь выходных аргументов. Кроме того, задайте неизвестные значения параметров.

simParams = [0.48 0.0081 0.56 1.63 1.9];
X = simsmooth(Mdl,y,'NumOut',7,'Params',simParams);

X является T-by-1 вектор камеры моделируемых состояний. Камеры с 1 по 25 содержат векторы 4 на 1, а камеры с 26 по 50 содержат векторы 2 на 1.

Доступ к камере с помощью камеры индексации, для примера доступ к камере 5 с помощью X{5}.

simStatesPeriod5 = X{5}

simStatesPeriod5 =

   -1.7591
   -1.5404
   -1.5171
   -1.1417

См. также

estimate | refine | simsmooth | simulate | ssm

Документация

Симулируйте состояния изменяющейся во времени модели пространства состояний с помощью сглаживания симуляции

См. также

Похожие примеры

Подробнее о

Документация по Econometrics Toolbox

Поддержка