Предположим, что латентный процесс является моделью AR (1). Уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений $$x_t$$, принимая, что серия начинается с 1,5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.

Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Задайте четыре матрицы коэффициентов.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.

Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...

State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + u1(t)

Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)

Initial state distribution:

Initial state means
 x1 
  0 

Initial state covariance matrix
     x1   
 x1  1.33 

State types
     x1     
 Stationary 

Mdl является ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана, используя отображение в Командном окне. Программное обеспечение делает вывод, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию в среднее значение и отклонение стационарного распределения модели AR (1).

Симулируйте по одному пути каждое из состояний и наблюдений. Задайте, что пути охватывают 100 периодов.

simX = simsmooth(Mdl,y);

simX является вектором 100 на 1 моделируемых состояний.

Постройте график значений истинного состояния с моделируемыми состояниями.

figure;
plot(1:T,x,'-k',1:T,simX,':r','LineWidth',2);
title 'True State Values and Simulated States';
xlabel 'Period';
ylabel 'State';
legend({'True state values','Simulated state values'});

По умолчанию simulate моделирует один путь для каждого состояния в модели пространства состояний. Чтобы провести исследование Монте-Карло, задайте, чтобы симулировать большое количество путей с помощью 'NumPaths' аргумент пары "имя-значение".

The simsmooth функция черпает случайные выборки из распределения сглаженных состояний или распределения состояния, заданного всеми данными и параметрами. Это - определение апостериорного распределения состояния. Предположим, что латентный процесс является AR (1). Уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную серию из 100 наблюдений $$x_t$$, принимая, что серия начинается с 1,5.

T = 100;
ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = 1.5;
rng(1); % For reproducibility
x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);

Предположим далее, что скрытый процесс подвержен аддитивной ошибке измерения. Уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним 0 и стандартным отклонением 0,75. Вместе латентный процесс и уравнения наблюдений составляют модель пространства состояний.

Используйте процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = x + 0.75*randn(T,1);

Задайте четыре матрицы коэффициентов.

A = 0.5;
B = 1;
C = 1;
D = 0.75;

Задайте модель пространства состояний, используя матрицы коэффициентов.

Mdl = ssm(A,B,C,D);

Сглаживайте состояния модели пространства состояний.

xsmooth = smooth(Mdl,y);

Нарисуйте 1000 путей из апостериорного распределения $$x_1$$.

N = 1000;
SimX = simsmooth(Mdl,y,'NumPaths',N);

SimX является 100-by- 1-by- 1000 массив. Строки соответствуют периодам, столбцы соответствуют отдельным состояниям, а листья соответствуют отдельным путям.

Потому что SimX имеет синглтонную размерность, свернуть его так, чтобы его листья соответствовали столбцам используя squeeze.

SimX = squeeze(SimX);

Вычислите среднее значение, стандартное отклонение и 95% доверительные интервалы состояния в каждом периоде.

xbar = mean(SimX,2);
xstd = std(SimX,[],2);
ci = [xbar - 1.96*xstd, xbar + 1.96*xstd];

Постройте графики сглаженных состояний, а также средств и 95% доверительных интервалов рисунков в каждом периоде.

figure;
plot(xsmooth,'k','LineWidth',2);
hold on;
plot(xbar,'--r','LineWidth',2);
plot(1:T,ci(:,1),'--r',1:T,ci(:,2),'--r');
legend('Smoothed states','Simulation Mean','95% CIs');
title('Smooth States and Simulation Statistics');
xlabel('Period')