Калибровка модели SABR

В этом примере показано, как использовать два различных метода для калибровки модели стохастической волатильности SABR от рыночных подразумеваемых волатильностей Black. Оба подхода используют blackvolbysabr.

Загрузка рыночных подразумеваемых данных о волатильности черного цвета
Метод 1: Калибровка Альфа, Rho и Nu непосредственно
Метод 2: Калибровать Rho и Nu, подразумевая Альфа от волатильности в деньгах
Используйте калиброванные модели
Ссылки

Загрузка рыночных подразумеваемых данных о волатильности черного цвета

Этот пример показывает, как настроить гипотетический рынок подразумевал волатильность черных для европейских свопсов в ряде ударов перед калибровкой. Срок действия свопционов истекает через три года после Settle дата и иметь 10-летние свопы в качестве базового инструмента. Скорости выражены десятичными числами. (Изменение модулей влияет на числовое значение и интерпретацию Alpha входной параметр функции blackvolbysabr.)

Загрузка рынка подразумевает черные данные о волатильности для свопционов, срок действия которых истекает через три года.

Settle = '12-Jun-2013';
ExerciseDate = '12-Jun-2016';

MarketStrikes = [2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0]'/100;
MarketVolatilities = [45.6 41.6 37.9 36.6 37.8 39.2 40.0]'/100;

Во время Settle, определить базовую форвардную ставку и волатильность в деньгах.

CurrentForwardValue = MarketStrikes(4)
ATMVolatility = MarketVolatilities(4)

CurrentForwardValue =

    0.0350


ATMVolatility =

    0.3660

Метод 1: Калибровка Альфа, Rho и Nu непосредственно

В этом примере показано, как калибровать Alpha, Rho, и Nu входные параметры непосредственно. Значение Beta предопределяется либо подгонкой исторических данных о волатильности рынка, либо выбором значения, считающейся подходящей для этого рынка [1].

Задайте предопределенную Beta.

Beta1 = 0.5;

После фиксации значения $β$ (Beta), параметры $α$ (Alpha), $ρ$ (Rho), и $υ$ (Nu) все устанавливаются непосредственно. Функция Optimization Toolbox™ lsqnonlin генерирует значения параметров, которые минимизируют квадратичную невязку между волатильностями рынка и волатильностями, вычисленными blackvolbysabr.

% Calibrate Alpha, Rho, and Nu
objFun = @(X) MarketVolatilities - ...
    blackvolbysabr(X(1), Beta1, X(2), X(3), Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, MarketStrikes);

X = lsqnonlin(objFun, [0.5 0 0.5], [0 -1 0], [Inf 1 Inf]);

Alpha1 = X(1);
Rho1 = X(2);
Nu1 = X(3);

Local minimum possible.

lsqnonlin stopped because the final change in the sum of squares relative to 
its initial value is less than the default value of the function tolerance.

Метод 2: Калибровать Rho и Nu, подразумевая Альфа от волатильности в деньгах

В этом примере показано, как использовать альтернативный метод калибровки, где значение $β$ (Beta) снова предопределено как в способе 1.

Задайте предопределенную Beta.

Beta2 = 0.5;

Однако после фиксации значения $β$ (Beta), параметры $ρ$ (Rho), и $υ$ (Nu) устанавливаются непосредственно в то время как $α$ (Alpha) подразумевается от рыночной волатильности денег. Модели, калиброванные с использованием этого метода, приводят к волатильности в деньгах, которая равна рыночным котировкам. Этот подход широко используется в свопционах, где волатильность в деньгах цитируется чаще всего и важна для соответствия. Подразумевать $α$ (Alpha) от рыночной волатильности денег ( $σ_{A T M}$ ), следующий кубический полином решен для $α$ (Alpha), и выбирается наименьший положительный действительный корень [2].

$\frac{{(1 - β)}^{2} T}{24 F^{(2 - 2 β)}} α^{3} + \frac{ρ β υ T}{4 F^{(1 - β)}} α^{2} + (1 + \frac{2 - 3 ρ^{2}}{24} υ^{2} T) α - σ_{A T M} F^{(1 - β)} = 0$

где:

$F$ - текущее прямое значение.
$T$ - доля года до погашения.

Для этого задайте анонимную функцию как:

% Year fraction from Settle to option maturity
T = yearfrac(Settle, ExerciseDate, 1);

% This function solves the SABR at-the-money volatility equation as a
% polynomial of Alpha
alpharoots = @(Rho,Nu) roots([...
    (1 - Beta2)^2*T/24/CurrentForwardValue^(2 - 2*Beta2) ...
    Rho*Beta2*Nu*T/4/CurrentForwardValue^(1 - Beta2) ...
    (1 + (2 - 3*Rho^2)*Nu^2*T/24) ...
    -ATMVolatility*CurrentForwardValue^(1 - Beta2)]);

% This function converts at-the-money volatility into Alpha by picking the
% smallest positive real root 
atmVol2SabrAlpha = @(Rho,Nu) min(real(arrayfun(@(x) ...
    x*(x>0) + realmax*(x<0 || abs(imag(x))>1e-6), alpharoots(Rho,Nu))));

Функция atmVol2SabrAlpha преобразует волатильность в деньгах в $α$ (Alpha) для заданного набора $ρ$ (Rho) и $υ$ (Nu). Эта функция затем используется в целевой функции, чтобы соответствовать параметрам $ρ$ (Rho) и $υ$ (Nu).

% Calibrate Rho and Nu (while converting at-the-money volatility into Alpha
% using atmVol2SabrAlpha)
objFun = @(X) MarketVolatilities - ...
    blackvolbysabr(atmVol2SabrAlpha(X(1), X(2)), ...
    Beta2, X(1), X(2), Settle, ExerciseDate, CurrentForwardValue, ...
    MarketStrikes);

X = lsqnonlin(objFun, [0 0.5], [-1 0], [1 Inf]);

Rho2 = X(1);
Nu2 = X(2);

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the default value of the function tolerance.

Калиброванный параметр $α$ (Alpha) вычисляется с помощью калиброванных параметров $ρ$ (Rho) и $υ$ (Nu).

% Obtain final Alpha from at-the-money volatility using calibrated parameters
Alpha2 = atmVol2SabrAlpha(Rho2, Nu2);

% Display calibrated parameters
C = {Alpha1 Beta1 Rho1 Nu1;Alpha2 Beta2 Rho2 Nu2};
CalibratedPrameters = cell2table(C,...
    'VariableNames',{'Alpha' 'Beta' 'Rho' 'Nu'},...
    'RowNames',{'Method 1';'Method 2'})

CalibratedPrameters = 

                 Alpha      Beta      Rho        Nu   
                ________    ____    _______    _______

    Method 1    0.060277    0.5      0.2097    0.75091
    Method 2    0.058484    0.5     0.20568    0.79647

Используйте калиброванные модели

В этом примере показано, как использовать калиброванные модели для вычисления новых волатильностей при любом значении удара.

Вычислите летучесть для моделей, калиброванных с помощью Метода 1 и Метода 2, и постройте график результатов.

PlottingStrikes = (1.75:0.1:5.50)'/100;

% Compute volatilities for model calibrated by Method 1
ComputedVols1 = blackvolbysabr(Alpha1, Beta1, Rho1, Nu1, Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes);

% Compute volatilities for model calibrated by Method 2
ComputedVols2 = blackvolbysabr(Alpha2, Beta2, Rho2, Nu2, Settle, ...
    ExerciseDate, CurrentForwardValue, PlottingStrikes);

figure;
plot(MarketStrikes,MarketVolatilities,'xk',...
    PlottingStrikes,ComputedVols1,'b', ...
    PlottingStrikes,ComputedVols2,'r', ...
    CurrentForwardValue,ATMVolatility,'ok',...
    'MarkerSize',10);
xlim([0.01 0.06]);
ylim([0.35 0.5]);
xlabel('Strike', 'FontWeight', 'bold');
ylabel('Implied Black Volatility', 'FontWeight', 'bold');
legend('Market Volatilities', 'SABR Model (Method 1)',...
    'SABR Model (Method 2)', 'At-the-money volatility');

Модель, калиброванная с использованием Метода 2, точно воспроизводит волатильность рынка на деньгах (отмеченная кругом).

Ссылки

[1] Hagan, P. S., Kumar, D., Lesniewski, A. S. and Woodward, D. E., Managing smile risk, Wilmott Magazine, 2002.

[2] West, G., «Calibration of the SABR Model in Illiquid Markets», Applied Mathematical Finance, 12 (4), pp. 371-385, 2004.

См. также

blackvolbysabr | optsensbysabr | swaptionbyblk

Документация