Что такое полиномиальные модели?

Полином Структуры модели

Полиномиальная модель использует обобщенное понятие передаточных функций, чтобы выразить связь между входным, u (t), выходным y (t) и шумовым e (t) с помощью уравнения:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$

Переменные A, B, C, D и F являются полиномами, выраженными в операторе сдвига во времени q^-1. _ui - i-й вход, nu - общее количество входов, и _nki - i-й вход задержки, которая характеризует задержку транспортировки. Отклонение белого шума e (t) принято как $λ$ . Для получения дополнительной информации об операторе сдвига во времени смотрите Понимание оператора сдвига во времени q.

На практике не все полиномы одновременно активны. Часто используются более простые формы, такие как ARX, ARMAX, Output-Error и Box-Jenkins. У вас также есть опция введения интегратора в источник шума так, чтобы общая модель приняла форму:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} \frac{1}{1 - q^{- 1}} e (t)$

Для получения дополнительной информации см. «Различные строения полиномиальных моделей».

Можно оценить полиномиальные модели, используя данные временного или частотного диапазона.

Для оценки необходимо задать порядок модели как набор целых чисел, которые представляют количество коэффициентов для каждого полинома, включенного в выбранную структуру - na для A, nb для B, nc для C, nd для D и nf для F. Вы также должны указать количество выборок nk, соответствующее задержке на входе - времени отключения - заданному количеством выборок, прежде чем выход ответит на вход.

Количество коэффициентов в полиномах знаменателя равно количеству полюсов, а количество коэффициентов в полиномах числителя равно количеству нулей плюс 1. Когда динамика от u (t) до y (t) содержит задержку nk выборок, то первые nk коэффициенты B равны нулю.

Для получения дополнительной информации о семействе моделей передаточной функции смотрите соответствующий раздел в Система Идентификации: Theory for the User, Second Edition, Lennart Ljung, Prentice Hall PTR, 1999.

Понимание оператора временного сдвига q

Общее полиномиальное уравнение записано в терминах оператора q сдвига во времени^–1. Чтобы понять этот оператор сдвига во времени, рассмотрите следующее разностное уравнение в дискретном времени:

$\begin{array}{l} y (t) + a_{1} y (t - T) + a_{2} y (t - 2 T) = \\ b_{1} u (t - T) + b_{2} u (t - 2 T) \end{array}$

где y (t) - выход, u (t) - вход, а T - шаг расчета. q^-1 является оператором сдвига во времени, который компактно представляет такие разностные уравнения, используя $q^{- 1} u (t) = u (t - T)$ :

$\begin{array}{l} y (t) + a_{1} q^{- 1} y (t) + a_{2} q^{- 2} y (t) = \\ b_{1} q^{- 1} u (t) + b_{2} q^{- 2} u (t) \\ или \\ A (q) y (t) = B (q) u (t) \end{array}$

В этом случае, $A (q) = 1 + a_{1} q^{- 1} + a_{2} q^{- 2}$ и $B (q) = b_{1} q^{- 1} + b_{2} q^{- 2}$ .

Примечание

Это q-описание полностью эквивалентно Z-преобразованию: q соответствует z.

Различные строения полиномиальных моделей

Эти структуры модели являются подмножествами следующего общего полиномиального уравнения:

$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$

Структуры модели отличаются тем, сколько из этих полиномов включено в структуру. Таким образом, различные структуры модели обеспечивают различные уровни гибкости для моделирования динамики и шумовых характеристик.

В следующей таблице представлены общие структуры линейной полиномиальной модели, поддерживаемые System Identification Toolbox™ произведением. Если вы имеете в виду определенную структуру для вашего приложения, можно решить, имеют ли динамика и шум общие или различные полюса. A (q) соответствует полюсам, которые являются общими для динамической модели и модели шума. Использование общих полюсов для динамики и шума полезно, когда нарушения порядка поступают в систему на входе. F i определяет полюса, уникальные для динамики системы, и D определяет полюса, уникальные для нарушений порядка.

Структура модели	Уравнение	Описание
ARX	$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} B_{i} (q) u_{i} (t - n k_{i}) + e (t)$	Шумовая модель $\frac{1}{A}$ и шум связан с динамической моделью. ARX не позволяет вам модели шум и динамику независимо. Оцените модель ARX, чтобы получить простую модель при хороших отношениях сигнал-шум.
ARIX	$A y = B u + \frac{1}{1 - q^{- 1}} e$	Расширяет структуру ARX путем включения интегратора в источник шума e (t). Это полезно в тех случаях, когда нарушение порядка не является стационарным.
ARMAX	$A (q) y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} B_{i} (q) u_{i} (t - n k_{i}) + C (q) e (t)$	Расширяет структуру ARX, обеспечивая большую гибкость для моделирования шума с использованием параметров C (скользящее среднее значение белого шума). Используйте ARMAX, когда доминирующие нарушения порядка входят на вход. Такие нарушения порядка называются нарушениями порядка нагрузки.
ARIMAX	$A y = B u + C \frac{1}{1 - q^{- 1}} e$	Расширяет структуру ARMAX путем включения интегратора в источник шума e (t). Это полезно в тех случаях, когда нарушение порядка не является стационарным.
Бокс-Дженкинс (BJ)	$y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C (q)}{D (q)} e (t)$	Обеспечивает полностью независимую параметризацию для динамики и шума с помощью рациональных полиномиальных функций. Используйте модели BJ, когда шум не входит на вход, но является основным нарушением порядка измерения, Эта структура обеспечивает дополнительную гибкость для моделирования шума.
Выходная ошибка (OE)	$y (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{i} (q)}{F_{i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + e (t)$	Используйте, когда вы хотите параметризовать динамику, но не хотите оценивать шумовую модель. Примечание В этом случае модели шума $H = 1$ в общем уравнении и источник белого шума e (t) влияет только на выход.

Полиномиальные модели могут содержать один или несколько выходов и нули или несколько входов.

Приложение Системы идентификации поддерживает прямую оценку моделей ARX, ARMAX, OE и BJ. Можно добавить интегратор шума в формы ARX, ARMAX и BJ. Однако можно использовать polyest для оценки всех пяти полиномов или любого подмножества полиномов в общем уравнении. Для получения дополнительной информации о работе с пемой, см. Использование полиеста для оценки полиномиальных моделей.

Представление полиномиальных моделей в непрерывном времени

За непрерывное время общее уравнение частотного диапазона записывается в терминах переменной преобразования Лапласа s, которая соответствует операции дифференцирования:

$A (s) Y (s) = \frac{B (s)}{F (s)} U (s) + \frac{C (s)}{D (s)} E (s)$

В случае непрерывного времени базовая модель во временной области является дифференциальным уравнением, и целые числа порядка модели представляют количество оцененных коэффициентов числителя и знаменателя. Например, _na = 3 и nb = 2 соответствуют следующей модели:

$\begin{array}{l} A (s) = s^{4} + a_{1} s^{3} + a_{2} s^{2} + a_{3} \\ B (s) = b_{1} s + b_{2} \end{array}$

Можно только оценить полиномиальные модели в непрерывном времени непосредственно с помощью данных частотного частотного диапазона в непрерывном времени. В этом случае необходимо задать Ts Свойство данных к 0, чтобы указать, что у вас есть непрерывное время частотного диапазона данных, и использовать oe команда для оценки полиномиальной модели Output-Error. Модели в непрерывном времени других структур, таких как ARMAX или BJ, не могут быть оценены. Получить эти формы можно только путем прямой конструкции (используя idpoly), преобразование из других типов моделей или путем преобразования модели в дискретном времени в непрерывное время (d2c). Обратите внимание, что форма OE представляет передаточную функцию, выраженную как отношение числителя (B) и знаменателя (F) полиномов. Для таких форм рассмотрите использование моделей передаточной функции, представленных idtf модели. Можно оценить модели передаточной функции, используя данные как во временных так и частотных диапазонах. В сложение к полиномам числителя и знаменателя можно также оценить задержки транспорта. Посмотрите idtf и tfest для получения дополнительной информации.

Мультивыход Полинома модели

Для полиномиальной модели MIMO с ny выходами и nu входами, отношение между входами и выходами для l^th выход может быть записан как:

$\sum_{j = 1}^{n y} A_{l j} (q) y_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{n u} \frac{B_{l i} (q)}{F_{l i} (q)} u_{i} (t - n k_{i}) + \frac{C_{l} (q)}{D_{l} (q)} e_{l} (t)$

Полиномиальный массив A (_Aij; i = 1: ny, j = 1: ny) хранятся в A свойство idpoly объект. Диагональные полиномы (_Aii; i = 1: ny) моничны, то есть начальные коэффициенты едины. Диагональные полиномы ₍Aij; i ≠ j ) содержат задержку, по крайней мере, одной выборки, то есть они начинаются с нуля. Для получения дополнительной информации о порядках моделей мультивыхода смотрите Полиномиальные размеры и Порядки Мультивыхода Полинома Модели.

Можно создать мультивыход полинома модели при помощи idpoly команда или оценка их с помощью ar, arx, bj, oe, armax, и polyest. В приложении можно оценить такие модели, выбрав набор данных с мультивыходами и соответствующим образом установив порядки в диалоговом окне Polynomial Models.

См. также

ar | armax | arx | bj | idpoly | oe | polyest

Подробнее о

Данные, поддерживаемые полиномиальными моделями

Документация