Обзор

Двумерное геометрическое преобразование является отображением, которое связывает каждую точку в евклидовой плоскости с другой точкой в евклидовой плоскости. В этих примерах геометрическое преобразование определяется правилом, которое сообщает, как сопоставить точку с Декартовыми координатами (x, y) в другую точку с Декартовыми координатами (u, v). Шахматный шаблон полезен в визуализации координатной сетки в плоскости входного изображения и типа искажения, введенного каждым преобразованием.

Изображение 1: Создайте Checkerboard

checkerboard создает изображение, которое имеет прямоугольные плитки и четыре уникальных угла, что облегчает просмотр искажения шахматного изображения геометрическими преобразованиями.

После того, как вы запустили этот пример один раз, попробуйте изменить изображение I к вашему любимому изображению.

sqsize = 60;
I = checkerboard(sqsize,4,4);
nrows = size(I,1);
ncols = size(I,2);
fill = 0.3;

imshow(I)
title('Original')

Изображение 2: Применить нерефлекторное подобие к шахматной доске

Неотражающие преобразования подобия могут включать вращение, масштабирование и перемещение. Сохраняются формы и углы. Параллельные линии остаются параллельными. Прямые линии остаются прямыми.

Для нерефлективного подобия,

T является матрицей 3 на 3, которая зависит от 4 параметров.

% Try varying these 4 parameters.
scale = 1.2;       % scale factor
angle = 40*pi/180; % rotation angle
tx = 0;            % x translation
ty = 0;            % y translation

sc = scale*cos(angle);
ss = scale*sin(angle);

T = [ sc -ss  0;
      ss  sc  0;
      tx  ty  1];

Поскольку нерефлективные сходства являются подмножеством аффинных преобразований, создайте affine2d использование объекта:

t_nonsim = affine2d(T);
I_nonreflective_similarity = imwarp(I,t_nonsim,'FillValues',fill);

imshow(I_nonreflective_similarity);
title('Nonreflective Similarity')

Если вы измените либо tx или ty к ненулевому значению, вы заметите, что это не влияет на выходное изображение. Если вы хотите увидеть координаты, которые соответствуют вашему преобразованию, включая преобразование, включают пространственную ссылочную информацию:

[I_nonreflective_similarity,RI] = imwarp(I,t_nonsim,'FillValues',fill);

imshow(I_nonreflective_similarity,RI)
axis on
title('Nonreflective Similarity (Spatially Referenced)')

Заметьте, что прохождение выхода пространственного объекта привязки RI от imwarp раскрывает перевод. Чтобы указать, какую часть выходного изображения вы хотите увидеть, используйте пару "имя-значение" 'OutputView' в imwarp функция.

Изображение 3: Применить подобие к шахматной доске

При преобразовании подобия подобные треугольники отображаются на подобные треугольники. Нерефлективные преобразования подобия являются подмножеством преобразований подобия.

Для подобия уравнение такое же, как и для нерефлективного подобия:

T является матрицей 3 на 3, которая зависит от 4 параметров плюс необязательное отражение.

% Try varying these parameters.
scale = 1.5;        % scale factor
angle = 10*pi/180; % rotation angle
tx = 0;            % x translation
ty = 0;            % y translation
a = -1;            % -1 -> reflection, 1 -> no reflection

sc = scale*cos(angle);
ss = scale*sin(angle);

T = [   sc   -ss  0;
      a*ss  a*sc  0;
        tx    ty  1];

Поскольку сходства являются подмножеством аффинных преобразований, создайте affine2d использование объекта:

t_sim = affine2d(T);

Как и в примере преобразования выше, найдите выходной пространственный объект привязки RI от imwarp функцию и передайте RI на imshow чтобы раскрыть отражение.

[I_similarity,RI] = imwarp(I,t_sim,'FillValues',fill);

imshow(I_similarity,RI)
axis on
title('Similarity')

Изображение 4: Применить аффинное преобразование к шахматной доске

При аффинном преобразовании размерности x и y могут быть масштабированы или срезаны независимо, и может быть перемещение, отражение и/или вращение. Параллельные линии остаются параллельными. Прямые линии остаются прямыми. Сходства являются подмножеством аффинных преобразований.

Для аффинного преобразования уравнение такое же, как и для подобия и нерефлективного подобия:

T является матрицей 3 на 3, где все шесть элементов первого и второго столбцов могут быть различными. Третий столбец должен быть [0; 0; 1].

% Try varying the definition of T.
T = [1  0.3  0; 
     1    1  0;
     0    0  1];
t_aff = affine2d(T);
I_affine = imwarp(I,t_aff,'FillValues',fill);

imshow(I_affine)
title('Affine')

Изображение 5: Применить проективное преобразование к шахматной доске

В проективном преобразовании квадрилатералы отображаются на квадрилатералы. Прямые линии остаются прямыми, но параллельные линии не обязательно остаются параллельными. Аффинные преобразования являются подмножеством проективных преобразований.

Для проективного преобразования:

T является матрицей 3 на 3, где все девять элементов могут быть различными.

Вышеприведенное матричное уравнение эквивалентно этим двум выражениям:

Попробуйте изменить любой из девяти элементов T.

T = [1  0  0.002; 
     1  1  0.0002;
     0  0  1   ];
t_proj = projective2d(T);   

I_projective = imwarp(I,t_proj,'FillValues',fill);
imshow(I_projective)
title('Projective')

Изображение 6: Применить кусочно-линейное преобразование к шахматной доске

При кусочно-линейном преобразовании аффинные преобразования применяются отдельно к областям изображения. В этом примере верхняя левая, верхняя правая и нижняя левая точки шахматной доски остаются неизменными, но треугольная область в нижней правой части изображения растягивается так, что нижний правый угол преобразованного изображения на 50% дальше вправо и на 20% ниже исходной координаты.

movingPoints = [0 0; 0 nrows; ncols 0; ncols nrows;]; 
fixedPoints  = [0 0; 0 nrows; ncols 0; ncols*1.5 nrows*1.2]; 
t_piecewise_linear = fitgeotrans(movingPoints,fixedPoints,'pwl'); 

I_piecewise_linear = imwarp(I,t_piecewise_linear,'FillValues',fill);
imshow(I_piecewise_linear)
title('Piecewise Linear')

Изображение 7: Применить синусоидальное преобразование к шахматной доске

Этот пример и следующие два примера показывают, как можно создать явное отображение, чтобы связать каждую точку в регулярной сетке (xi, yi) с другой точкой (ui, vi). Это отображение сохранено в geometricTranform2d объект, который используется imwarp для преобразования изображения.

В этом синусоидальном преобразовании x-координата каждого пикселя неизменна. Y-координата каждой строки пикселей смещена вверх или вниз после синусоидального шаблона.

a = ncols/12; % Try varying the amplitude of the sinusoid
ifcn = @(xy) [xy(:,1), xy(:,2) + a*sin(2*pi*xy(:,1)/nrows)];
tform = geometricTransform2d(ifcn);

I_sinusoid = imwarp(I,tform,'FillValues',fill);
imshow(I_sinusoid);
title('Sinusoid')

Изображение 8: Применить преобразование ствола к шахматной доске

Искажение ствола возмущает изображение радиально наружу от его центра. Искажение более удалено от центра, что приводит к выпуклым сторонам.

Сначала задайте функцию, которая отображает индексы пикселей на расстояние от центра. Используйте meshgrid функция для создания массивов x-координат и y-координат каждого пикселя с источником в верхнем левом углу изображения.

[xi,yi] = meshgrid(1:ncols,1:nrows);

Переместите источник в центр изображения. Затем преобразуйте Декартовы координаты X и Y в цилиндрический угол (theta) и радиус (r) координаты с помощью cart2pol функция. r изменяется линейно с увеличениями расстояния от центрального пикселя.

xt = xi - ncols/2;
yt = yi - nrows/2;
[theta,r] = cart2pol(xt,yt);

Задайте амплитуду, a, кубического термина. Этот параметр настраивается. Затем добавьте кубический термин к r так что r изменяется нелинейно с удалением от центрального пикселя.

a = 1; % Try varying the amplitude of the cubic term.
rmax = max(r(:));
s1 = r + r.^3*(a/rmax.^2);

Преобразуйте назад в Декартову систему координат. Переместите источник назад в правый верхний угол изображения.

[ut,vt] = pol2cart(theta,s1);
ui = ut + ncols/2;
vi = vt + nrows/2;

Сохраните отображение между (xi, yi) и (ui, vi) в geometricTranform2d объект. Использование imwarp для преобразования изображения в соответствии с пиксельным отображением.

ifcn = @(c) [ui(:) vi(:)];
tform = geometricTransform2d(ifcn);

I_barrel = imwarp(I,tform,'FillValues',fill);
imshow(I_barrel)
title('Barrel')

Изображение 9: Применить преобразование демпфера контакта к шахматной доске

Искажение пин-демпфирования является обратным искажением ствола, потому что кубический член имеет отрицательную амплитуду. Искажение все еще больше удалено от центра, но искажение выглядит как вогнутые стороны.

Начинать можно с тех же theta и r значения как для преобразования ствола. Задайте другую амплитуду b кубического термина. Этот параметр настраивается. Затем вычесть кубический термин в r так что r изменяется нелинейно с удалением от центрального пикселя.

b = 0.4; % Try varying the amplitude of the cubic term.
s = r - r.^3*(b/rmax.^2);

Преобразуйте назад в Декартову систему координат. Переместите источник назад в правый верхний угол изображения.

[ut,vt] = pol2cart(theta,s);
ui = ut + ncols/2;
vi = vt + nrows/2;

Сохраните отображение между (xi, yi) и (ui, vi) в geometricTranform2d объект. Использование imwarp для преобразования изображения в соответствии с пиксельным отображением.

ifcn = @(c) [ui(:) vi(:)];
tform = geometricTransform2d(ifcn);
I_pin = imwarp(I,tform,'FillValues',fill);
imshow(I_pin)
title('Pin Cushion')

Сводные данные: отображение всех геометрических преобразований шахматной доски

figure
subplot(3,3,1),imshow(I),title('Original')
subplot(3,3,2),imshow(I_nonreflective_similarity),title('Nonreflective Similarity')
subplot(3,3,3),imshow(I_similarity),title('Similarity')
subplot(3,3,4),imshow(I_affine),title('Affine')
subplot(3,3,5),imshow(I_projective),title('Projective')
subplot(3,3,6),imshow(I_piecewise_linear),title('Piecewise Linear')
subplot(3,3,7),imshow(I_sinusoid),title('Sinusoid')
subplot(3,3,8),imshow(I_barrel),title('Barrel')
subplot(3,3,9),imshow(I_pin),title('Pin Cushion')

Обратите внимание, что subplot изменяет шкалу отображаемых изображений.