Документация

Функции MATLAB для полиномиальных моделей

Два MATLAB^® функции могут смоделировать ваши данные с помощью полинома.

Этот пример показов, как данные модели с полиномом.

Измерьте количество y в нескольких значениях времени t.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25];
plot(t,y,'o')
title('Plot of y Versus t')

Можно попробовать смоделировать эти данные с помощью полиномиальной функции второй степени,

Неизвестные коэффициенты, $$a_0$$, $$a_1$$, и $$a_2$$, вычисляются путем минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели (аппроксимация методом наименьших квадратов).

Использование polyfit чтобы найти полиномиальные коэффициенты.

p = polyfit(t,y,2)

p = 1×3

   -0.2942    1.0231    0.4981

MATLAB вычисляет полиномиальные коэффициенты в нисходящих степенях.

Полиномиальная модель данных второй степени задается уравнением

Вычислите полином с равномерными интервалами времени, t2. Затем постройте график исходных данных и модели на том же графике.

t2 = 0:0.1:2.8;
y2 = polyval(p,t2);
figure
plot(t,y,'o',t2,y2)
title('Plot of Data (Points) and Model (Line)')

Вычислите модель в временном векторе данных

y2 = polyval(p,t);

Вычислите невязки.

res = y - y2;

Постройте график невязок.

figure, plot(t,res,'+')
title('Plot of the Residuals')

Заметьте, что подгонка второй степени примерно соответствует основной форме данных, но не захватывает плавную кривую, на которой, по-видимому, лежат данные. В невязках, по-видимому, есть шаблон, который указывает, что может потребоваться другая модель. Полином пятой степени (показан следующим) делает лучшую работу по отслеживанию колебаний данных.

Повторите упражнение, на этот раз используя полином пятой степени от polyfit.

p5 = polyfit(t,y,5)

p5 = 1×6

    0.7303   -3.5892    5.4281   -2.5175    0.5910    0.6000

Вычислите полином в t2 и постройте график подгонки поверх данных в новом окне рисунка.

y3 = polyval(p5,t2);   
figure
plot(t,y,'o',t2,y3)
title('Fifth-Degree Polynomial Fit')

Линейная модель с неполиномиальными терминами

Этот пример показывает аппроксимацию данных с помощью линейной модели, содержащей неполиномиальные условия.

Когда полиномиальная функция не дает удовлетворительной модели ваших данных, можно попробовать использовать линейную модель с неполиномиальными терминами. Например, рассмотрите следующую функцию, которая линейна в параметрах $$a_0$$, $$a_1$$, и $$a_2$$, но нелинейный в $$t$$ данные:

Можно вычислить неизвестные коэффициенты $$a_0$$, $$a_1$$, и $$a_2$$ путем построения и решения набора одновременных уравнений и решения для параметров. Следующий синтаксис достигает этого путем формирования матрицы проекта, где каждый столбец представляет переменную, используемую для предсказания отклика (a члена в модели), и каждая строка соответствует одному наблюдению этих переменных.

Введите t и y как векторы-столбцы.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';

Сформируйте матрицу проекта.

X = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];

Вычислите коэффициенты модели.

a = X\y

a = 3×1

    1.3983
   -0.8860
    0.3085

Поэтому модель данных задается как

Теперь оцените модель в регулярно разнесенных точках и постройте график модели с исходными данными.

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T))  exp(-T)  T.*exp(-T)]*a;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
title('Plot of Model and Original Data')

Множественная регрессия

Этот пример показывает, как использовать множественную регрессию для данных моделей, которая является функцией более чем одной переменной.

Когда y является функцией более чем одной переменной-предиктора, матричные уравнения, которые выражают отношения между переменными, должны быть расширены, чтобы соответствовать дополнительным данным. Это называется множественной регрессией.

Измерьте количество $$y$$ для нескольких значений $$x_1$$ и $$x_2$$. Сохраните эти значения в векторах x1, x2, и y, соответственно.

x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]';
x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]';
y  = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';

Модель этих данных имеет вид

Множественная регрессия решает для неизвестных коэффициентов $$a_0$$, $$a_1$$, и $$a_2$$ путем минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели (аппроксимация методом наименьших квадратов).

Создайте и решите набор одновременных уравнений, сформировав матрицу проекта, X.

X = [ones(size(x1))  x1  x2];

Решить для параметров можно с помощью оператора обратной косой черты.

a = X\y

a = 3×1

    0.1018
    0.4844
   -0.2847

Модель аппроксимации данных методом наименьших квадратов

Чтобы подтвердить модель, найдите максимум абсолютного значения отклонения данных от модели.

Y = X*a;
MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr = 0.0038

Это значение намного меньше любого из значений данных, что указывает на то, что эта модель точно следует данным.

Программное аппроксимирование

В этом примере показано, как использовать функции MATLAB для:

• Вычислите коэффициенты корреляции

• Подбор полинома к данным

• Графическое изображение и вычисление доверительных границ

Загрузка выборочных данных переписи населения из census.mat, который содержит данные о населении США за 1790-1990 годы.

load census

Это добавляет следующие две переменные в рабочее пространство MATLAB.

Постройте график данных.

plot(cdate,pop,'ro')
title('U.S. Population from 1790 to 1990')

График показывает сильный шаблон, что указывает на высокую корреляцию между переменными.

corrcoef(cdate,pop)

ans = 2×2

    1.0000    0.9597
    0.9597    1.0000

[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2);

pop_fit = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop_fit,'-',cdate,pop,'+');
title('U.S. Population from 1790 to 1990')
legend('Polynomial Model','Data','Location','NorthWest');
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');

res = pop - pop_fit;
figure, plot(cdate,res,'+')
title('Residuals for the Quadratic Polynomial Model')

[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop,'+',...
     cdate,pop_fit,'g-',...
     cdate,pop_fit+2*delta,'r:',...
     cdate,pop_fit-2*delta,'r:'); 
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');
title('Quadratic Polynomial Fit with Confidence Bounds')
grid on