Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (DDE) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые связывают решение в текущий момент времени с решением в прошлые моменты времени. Эта задержка может быть постоянной, зависящей от времени, зависящей от состояния или производной. В порядок, чтобы интеграция началась, вы обычно должны предоставить историю решений, чтобы решение было доступно решателю в течение времени до начальной точки интегрирования.
Система дифференциальных уравнений с постоянными задержками имеет вид:
Здесь t является независимой переменной, y является вектором-столбцом зависимых переменных, и y ′ представляет первую производную y относительно t. Задержки, τ 1,..., τ k, являются положительными константами.
dde23 функция решает DDE с постоянными задержками с историей y (t) = S (t) для t < t 0.
Решения ДДЭ обычно непрерывны, но они имеют разрывы в своих производных. The dde23 функция отслеживает разрывы в производных низкого порядка. Он интегрирует дифференциальные уравнения с той же явной парой Рунге-Кутты (2,3) и интерполяцией, используемой ode23. Формулы Runge-Kutta неявны для размеров шагов, больших, чем задержки. Когда y (t) является достаточно гладким, чтобы обосновать шаги этого большого, неявные формулы оцениваются итерацией предиктор-корректор.
Постоянные задержки являются частным случаем более общей формы DDE:
Зависящие от времени и состояния DDE включают задержки dy 1,..., dy k, которые могут зависеть как от временных t, так и от y состояния. <Reservedrangesplaceholder10> j задержек (t, y) должен удовлетворить <reservedrangesplaceholder7> j (t, y) ≤ <reservedrangesplaceholder4> на интервале [<reservedrangesplaceholder3> 0, <reservedrangesplaceholder2> f] с <reservedrangesplaceholder1> 0 <<reservedrangesplaceholder0> f.
ddesd функция находит решение, y (t), для зависящих от времени и состояний DDE с историей y (t) = S (t) для t < t 0. The ddesd функция интегрируется с классическим четырёхэтапным явным методом Рунге-Кутты четвертого порядка, и она управляет размером невязки естественной интерполяции. Он использует итерацию, чтобы предпринять шаги, которые дольше, чем задержки.
Дифференциальные уравнения с задержкой нейтрального типа включают задержки в y ′ а также y:
Задержки решения должны удовлетворить dy меня (t, y) ≤ <reservedrangesplaceholder5>. Задержки первой производной должны удовлетворить <reservedrangesplaceholder4> j (t, y) <t так, чтобы <reservedrangesplaceholder0> ′ не появлялся с обеих сторон уравнения.
ddensd функция решает DDE нейтрального типа, аппроксимируя их с DDE формы, заданной для зависящих от времени и зависящих от состояния задержек:
Для получения дополнительной информации смотрите шемпин [1].
Используйте deval функция и выход от любого из решателей DDE, чтобы вычислить решение в определенных точках в интервале интегрирования. Для примера, y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end))) оценивает решение в середине интервала интегрирования.
Когда вы решаете DDE, вы аппроксимируете решение на интервале [t 0, tf] с t 0 < tf. DDE показывают, как y ′ (t) зависит от значений решения (и, возможно, его производной) во времени до t. Например, с постоянными задержками y ′ (t 0) зависит от y (t 0 - τ 1),..., y (t 0 - τ k) для положительных констант τ j. Из-за этого решение на [t 0, t k] зависит от значений, которые он имеет в t ≤ t 0. Вы должны задать эти значения с помощью функции истории, y (t) = S (t) для t < t 0.
Если у вашей задачи есть разрывы, лучше всего передать их решателю с помощью структуры опций. Для этого используйте ddeset функция для создания options структура, содержащая разрывы в вашей проблеме.
В options три свойства структуру, которую можно использовать для определения разрывов; InitialY, Jumps, и Events. Свойство, которое вы выбираете, зависит от местоположения и характера разрывов.
Характер нарушения непрерывности | Свойство | Комментарии |
|---|---|---|
При начальном значении t = t 0 |
| Обычно начальное значение y (t 0) является S значения (t 0), возвращаемым функцией истории, что означает, что решение непрерывно в начальной точке. Если это не так, задайте другое начальное значение с помощью |
В истории, т.е. решение в t < t 0, или в коэффициентах уравнения для t > t 0 |
| Предоставьте известные местоположения, t из разрывов в векторе как значение |
Зависящее от состояния |
|
|
Обычно первая производная решения имеет переход в начальной точке. Это потому, что первая производная функции истории, S (t), обычно не удовлетворяет DDE в этой точке. Разрыв в любой производной y (t) распространяется в будущее на промежутках между τ 1,..., τ k, когда задержки постоянны. Если задержки не постоянны, распространение разрывов сложнее. Для нейтральных DDE форм в DDE с постоянной задержкой и зависимых от времени и от состояния DDE, разрыв появляется в следующей производной более высокого порядка каждый раз, когда он распространяется. В этом смысле решение становится более плавным по мере продолжения интегрирования. Решения нейтральных ДДЭ формы, заданной в ДДЭ нейтрального типа, качественно отличаются. Разрыв в решении не распространяется на производную более высокого порядка. В частности, типичный переход в <reservedrangesplaceholder6> ′ (<reservedrangesplaceholder5>) в <reservedrangesplaceholder4> 0 размножается как переходы в <reservedrangesplaceholder3> ′ (<reservedrangesplaceholder2>) повсюду [<reservedrangesplaceholder1> 0, <reservedrangesplaceholder0> f].
Несколько доступных примерных файлов служат отличными начальными точками для большинства распространенных задач DDE. Чтобы легко исследовать и запустить примеры, просто используйте Примеры дифференциальных уравнений app. Чтобы запустить это приложение, введите
odeexamples
edit exampleFileName.mexampleFileName
Эта таблица содержит список доступных файлов примеров DDE, а также решателей и используемых ими опций.
Пример файла | Используемый решатель | Заданные опции | Описание | Пример ссылки |
|---|---|---|---|---|
|
| — | DDE с постоянной историей | |
|
|
| DDE с разрывом | |
|
| — | DDE с зависящими от состояния задержками | |
|
| — | Нейтральный DDE с двумя задержками | |
|
| — | Нейтральный DDE с начальным значением |
[1] Шемпин, Л.Ф. «Рассеивающие приближения к нейтральным ДДЭ». Прикладная математика и расчеты, том 203, 2008, стр. 641-648.
dde23 | ddensd | ddesd | ddeset