Сгенерируйте контурные графики модуля и фазы функции Ханкеля $$H_0^{(1)}(z)$$ [1].

Создайте сетку значений для области.

[X,Y] = meshgrid(-4:0.002:2,-1.5:0.002:1.5);

Вычислите функцию Ханкеля в этой области и сгенерируйте контурный график модуля.

H = besselh(0,X+1i*Y);
contour(X,Y,abs(H),0:0.2:3.2)
hold on

На том же рисунке добавьте контурный график фазы.

contour(X,Y,rad2deg(angle(H)),-180:10:180)
hold off

Постройте график реальных и мнимых частей функции Ханкеля второго рода и исследуйте их асимптотическое поведение.

Вычислим функцию Ханкеля второго рода ${\mathit{H}}_0^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right)={\mathit{J}}_0\left(\mathit{z}\right)-\mathit{i}{\mathit{Y}}_0\left(\mathit{z}\right)$ в интервале $\left[0.1,25\right]$.

k = 2;
nu = 0;
z = linspace(0.1,25,200);
H = besselh(nu,k,z);

Постройте график действительной и мнимой частей функции. На том же рисунке постройте график линейной комбинации $\sqrt{{\mathit{J}}_0^2\left(\mathit{z}\right)+{\mathit{Y}}_0^2\left(\mathit{z}\right)}$, что раскрывает асимптотическое поведение величин действительной и мнимой частей.

plot(z,real(H),z,imag(H))
grid on
hold on
M = sqrt(real(H).^2 + imag(H).^2);
plot(z,M,'--')
legend('$J_0(z)$', '$Y_0(z)$', '$\sqrt{J_0^2 (z) + Y_0^2 (z)}$','interpreter','latex')

Вычислим экспоненциально масштабированную функцию Ханкеля ${\mathit{H}}_1^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right){\cdot \mathit{e}}^{\mathrm{iz}}$ на комплексной плоскости и сравните ее с неограниченной функцией.

Вычислите не масштабированную функцию Ханкеля второго порядка на комплексной плоскости. Когда z имеет большую положительную мнимую часть, значение функции быстро расходится. Это явление ограничивает область значений вычисляемых значений.

k = 2;
nu = 1;
x = -5:0.4:15;
y = x';
z = x + 1i*y;
scaled = 1;
H = besselh(nu,k,z);
surf(x,y,imag(H))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')

Теперь вычислите ${\mathit{H}}_1^{\left(2\right)}\left(\mathit{z}\right){\cdot \mathit{e}}^{\mathrm{iz}}$ на комплексной плоскости и сравните ее с неограниченной функцией. Масштабированная функция увеличивает область значений вычисляемых значений, избегая переполнения и потери точности при z имеет большую положительную мнимую часть.

Hs = besselh(nu,k,z,scaled);
surf(x,y,imag(Hs))
xlabel('real(z)')
ylabel('imag(z)')