Вычислите совокупный интеграл вектора, где интервал между точками данных равен 1.

Создайте числовой вектор данных.

Y = [1 4 9 16 25];

Y содержит значения функций для $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)={\mathit{x}}^2$ в область [1 5].

Используйте cumtrapz, чтобы интегрировать данные с модулем интервалом.

Q = cumtrapz(Y)

Q = 1×5

         0    2.5000    9.0000   21.5000   42.0000

Это приблизительное интегрирование дает окончательное значение 42. В этом случае точный ответ чуть меньше, $41\frac{1}{3}$. The cumtrapz функция переоценивает значение интеграла, потому что f (x) вогнуто.

Вычислите совокупный интеграл вектора, где интервал между точками данных равномерен, но не равен 1.

Создайте вектор области.

X = 0:pi/5:pi;

Вычислите синус X.

Y = sin(X');

Кумулятивно интегрируйте Y использование cumtrapz. Когда интервал между точками является постоянным, но не равным 1, альтернатива созданию вектора для X задает скалярное значение интервала. В этом случае cumtrapz(pi/5,Y) то же, что и pi/5*cumtrapz(Y).

Q = cumtrapz(X,Y)

Q = 6×1

         0
    0.1847
    0.6681
    1.2657
    1.7491
    1.9338

Кумулятивно интегрируйте строки матрицы, где данные имеют неоднородный интервал.

Создайте вектор x-координат и матрицу наблюдений, которые происходят в неправильных интервалах. Строки Y представляют данные о скорости, взятые во времени, содержащемся в X, для трех различных испытаний.

X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2   7.7   9.6   13.2;
     4.8   7.0  10.5   14.5;
     4.9   6.5  10.2   13.8];

Использование cumtrapz чтобы интегрировать каждую строку независимо и найти совокупное расстояние, пройденное в каждом испытании. Поскольку данные не оцениваются с постоянными интервалами, задайте X для указания интервала между точками данных. Задайте dim = 2 поскольку данные находятся в строках Y.

Q1 = cumtrapz(X,Y,2)

Q1 = 3×4

         0    9.6750   48.6000   82.8000
         0    8.8500   48.2250   85.7250
         0    8.5500   46.1250   82.1250

Результатом является матрица того же размера, что и Y с кумулятивным интегралом каждой строки.

Выполните вложенные интегрирования в направлениях x и y. Постройте график результатов, чтобы визуализировать совокупное интегральное значение в обоих направлениях.

Создайте сетку значений для области.

x = -2:0.1:2;
y = -2:0.2:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

Вычислим функцию $\mathit{f}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)=10{\mathit{x}}^2+20{\mathit{y}}^2$ на сетке.

F = 10*X.^2 + 20*Y.^2;

cumtrapz интегрирует числовые данные, а не функциональные выражения, поэтому в целом не нужно знать, что базовая функция используется cumtrapz на матрице данных. В случаях, когда функциональное выражение известно, можно вместо этого использовать integral, integral2, или integral3.

Использование cumtrapz для аппроксимации двойного интеграла

Чтобы выполнить это двойное интегрирование, используйте вложенные вызовы функций для cumtrapz. Внутренний вызов сначала интегрирует строки данных, затем внешний вызов интегрирует столбцы.

I = cumtrapz(y,cumtrapz(x,F,2));

Постройте график поверхности, представляющей исходную функцию, а также поверхности, представляющей совокупное интегрирование. Каждая точка на поверхности совокупного интегрирования задает промежуточное значение двойного интеграла. Последнее значение в I приводит общее приближение двойного интеграла, I(end) = 642.4. Отметьте эту точку на графике красной звездой.

surf(X,Y,F,'EdgeColor','none')
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold on
surf(X,Y,I,'FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','none')
plot3(X(end),Y(end),I(end),'r*')
hold off