Обобщенные сингулярные разложения
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B) возвращает унитарные матрицы U и V, (обычно) квадратную матрицу X, и неотрицательные диагональные матрицы C и S так что
A = U*C*X' B = V*S*X' C'*C + S'*S = I
A и B должен иметь одинаковое число столбцов, но может иметь разное количество строк. Если A является m-by- p и B является n-by- p, затем U является m-by- m, V является n-by- n, X является p-by- q, C является m-by- q и S является n-by- q, где q = min(m+n,p).
Ненулевые элементы S всегда на его основной диагонали. Ненулевые элементы C находятся на диагонали diag(C,max(0,q-m)). Если m >= q, это основная диагональ C.
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0), где A является m-by- p и B является n-by- p, производит «экономичное» разложение, где полученное U и V иметь самое большее p столбцы и C и S иметь самое большее p строки. Обобщенные сингулярные значения diag(C)./diag(S) до тех пор, пока m >= p и n >= p.
Если A является m-by- p и B является n-by- p, затем U является m-by- min(q,m), V является n-by- min(q,n), X является p-by- q, C является min(q,m)-by- q и S является min(q,n)-by- q, где q = min(m+n,p).
sigma = gsvd(A,B) возвращает вектор обобщенных сингулярных значений, sqrt(diag(C'*C)./diag(S'*S)). Когда B является квадратным и несингулярным, обобщенные сингулярные значения, gsvd(A,B), соответствуют обыкновенным сингулярным значениям, svd(A/B), но они сортируются в обратном порядке. Их взаимные gsvd(B,A).
Векторная sigma имеет длину q и находится в неубывающем порядке.
Матрицы имеют по крайней мере столько строк, сколько столбцов.
A = reshape(1:15,5,3)
B = magic(3)
A =
1 6 11
2 7 12
3 8 13
4 9 14
5 10 15
B =
8 1 6
3 5 7
4 9 2Оператор
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
производит ортогональную U 5 на 5, ортогональное V 3 на 3, членистоногая X 3 на 3,
X =
2.8284 -9.3761 -6.9346
-5.6569 -8.3071 -18.3301
2.8284 -7.2381 -29.7256и
C =
0.0000 0 0
0 0.3155 0
0 0 0.9807
0 0 0
0 0 0
S =
1.0000 0 0
0 0.9489 0
0 0 0.1957Начиная с A имеет неполный ранг, первый диагональный элемент C равен нулю.
Размер экономики разложение,
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
создает матрицу 5 на 3 U и матрицу 3х3 C.
U =
0.5700 -0.6457 -0.4279
-0.7455 -0.3296 -0.4375
-0.1702 -0.0135 -0.4470
0.2966 0.3026 -0.4566
0.0490 0.6187 -0.4661
C =
0.0000 0 0
0 0.3155 0
0 0 0.9807Остальные три матрицы, V, X, и S являются такими же, как те, что получены при полном разложении.
Обобщенными сингулярными значениями являются отношения диагональных элементов C и S.
sigma = gsvd(A,B)
sigma =
0.0000
0.3325
5.0123Эти значения являются переупорядочением обыкновенных сингулярных значений
svd(A/B)
ans =
5.0123
0.3325
0.0000Матрицы имеют по крайней мере столько столбцов, сколько строк.
A = reshape(1:15,3,5)
B = magic(5)
A =
1 4 7 10 13
2 5 8 11 14
3 6 9 12 15
B =
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9Оператор
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
производит ортогональную U 3 на 3, ортогональное V 5 на 5, членистоногая X 5 на 5 и
C =
0 0 0.0000 0 0
0 0 0 0.0439 0
0 0 0 0 0.7432
S =
1.0000 0 0 0 0
0 1.0000 0 0 0
0 0 1.0000 0 0
0 0 0 0.9990 0
0 0 0 0 0.6690В этой ситуации ненулевая диагональ C является diag(C,2). Обобщенные сингулярные значения включают три нуля.
sigma = gsvd(A,B)
sigma =
0
0
0.0000
0.0439
1.1109Сторнирование ролей A и B взаимно обрабатывает эти значения, создавая две бесконечности.
gsvd(B,A)
ans =
1.0e+16 *
0.0000
0.0000
8.8252
Inf
InfВ этой формулировке gsvd, никаких предположений об отдельных рангах A или B. Матрица X имеет полный ранг тогда и только тогда, когда матрица [A;B] имеет полный ранг. Фактически, svd(X) и cond(X) равны svd([A;B]) и cond([A;B]). Другие формулировки, например G. Golub и C. Van Loan [1], требуют, чтобы null(A) и null(B) не перекрывайте и не заменяйте X по inv(X) или inv(X').
Обратите внимание, однако, что когда null(A) и null(B) перекрываются ненулевые элементы C и S не определяются однозначно.
Обобщенное сингулярное разложение использует разложение C-S, описанное в [1], а также встроенное svd и qr функций. Разложение C-S реализовано в локальной функции в gsvd программный файл.
[1] Golub, Gene H. and Charles Van Loan, Matrix Computations, Third Edition, Johns Hopkins University Press, Балтимор, 1996