Найдите QR-разложение матрицы Паскаля 5 на 5. Задайте один выходной аргумент, чтобы вернуть только верхний треугольный коэффициент.

A = pascal(5);
X = qr(A)

X = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
    0.3090    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
    0.3090   -0.1744    1.8708    7.4833   19.2428
    0.3090   -0.4565    0.3548    0.6325    2.8460
    0.3090   -0.7387   -0.0281   -0.7490   -0.1195

Извлеките верхний треугольный коэффициент R от X.

R = triu(X)

R = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
         0    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
         0         0    1.8708    7.4833   19.2428
         0         0         0    0.6325    2.8460
         0         0         0         0   -0.1195

Сравните R в QR-декомпозиции без Q- R фактор в полном QR-разложении.

[Q1,R1] = qr(A)

Q1 = 5×5

   -0.4472   -0.6325    0.5345   -0.3162   -0.1195
   -0.4472   -0.3162   -0.2673    0.6325    0.4781
   -0.4472    0.0000   -0.5345    0.0000   -0.7171
   -0.4472    0.3162   -0.2673   -0.6325    0.4781
   -0.4472    0.6325    0.5345    0.3162   -0.1195

R1 = 5×5

   -2.2361   -6.7082  -15.6525  -31.3050  -56.3489
         0    3.1623   11.0680   26.5631   53.1263
         0         0    1.8708    7.4833   19.2428
         0         0         0    0.6325    2.8460
         0         0         0         0   -0.1195

Вычислите полное QR-разложение магической квадратной тестовой матрицы путем определения двух выходных аргументов.

A = magic(5);
[Q,R] = qr(A)

Q = 5×5

   -0.5234    0.5058    0.6735   -0.1215   -0.0441
   -0.7081   -0.6966   -0.0177    0.0815   -0.0800
   -0.1231    0.1367   -0.3558   -0.6307   -0.6646
   -0.3079    0.1911   -0.4122   -0.4247    0.7200
   -0.3387    0.4514   -0.4996    0.6328   -0.1774

R = 5×5

  -32.4808  -26.6311  -21.3973  -23.7063  -25.8615
         0   19.8943   12.3234    1.9439    4.0856
         0         0  -24.3985  -11.6316   -3.7415
         0         0         0  -20.0982   -9.9739
         0         0         0         0  -16.0005

Проверьте, что $\mathit{A}=\mathrm{QR}$, в пределах точности машины.

norm(A-Q*R)

ans = 1.2569e-14

Задайте три выходных аргументов, чтобы вернуть матрицу или вектор сочетания, который уменьшает заполнение в R коэффициент QR-разложения.

Вычислите QR-разложение west0479 разреженная матрица. Задайте три выхода, чтобы вернуть матрицу сочетания, которая удовлетворяет $\mathrm{AP}=\mathrm{QR}$.

load west0479
A = west0479;
[Q,R,P] = qr(A);

Проверьте, что A*P = Q*R для матрицы сочетаний P, в пределах точности машины.

norm(A*P-Q*R,'fro')

ans = 3.3386e-10

Теперь задайте 'vector' опция возврата p как вектор сочетания.

[Q,R,p] = qr(A,'vector');

Проверьте, что A(:,p) = Q*R для вектора сочетания p, в пределах точности машины.

norm(A(:,p) - Q*R,'fro')

ans = 3.3386e-10

Проверьте, что использование матрицы сочетания или вектора сочетания в разложении приводит к R коэффициент с меньшим количеством ненулей для разреженных входов по сравнению с непостоянным разложением.

[Q1,R1] = qr(A);
spy(R1)

spy(R)

Результаты показывают, что перестановленное разложение создает R коэффициент с существенно меньшим количеством ненулей.

Используйте QR-разложение экономического размера матрицы коэффициентов, чтобы решить линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$.

Создайте матрицу коэффициентов 10 на 5 с помощью первых пяти столбцов magic(10). Для правой стороны линейного уравнения $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$, используйте суммы строк матрицы. С помощью этой настройки, решение уравнения $\mathit{x}$ должен быть вектором таковых.

A = magic(10);
A = A(:,1:5)

A = 10×5

    92    99     1     8    15
    98    80     7    14    16
     4    81    88    20    22
    85    87    19    21     3
    86    93    25     2     9
    17    24    76    83    90
    23     5    82    89    91
    79     6    13    95    97
    10    12    94    96    78
    11    18   100    77    84

b = sum(A,2)

b = 10×1

   215
   215
   215
   215
   215
   290
   290
   290
   290
   290

Вычислите QR-разложение A. Затем решите линейную систему $\mathrm{QRx}=\mathit{b}$ с x(p,:) = R\(Q\b). Потому что Q ортогонально, это уравнение то же, что и x(p,:) = R\(Q'*b).

[Q,R,p] = qr(A,0)

Q = 10×5

   -0.0050   -0.4775   -0.0504    0.5193    0.0399
   -0.0349   -0.5001   -0.0990   -0.1954   -0.2006
   -0.4384    0.1059   -0.4660    0.4464    0.0628
   -0.0947   -0.4151   -0.2923   -0.2542    0.5274
   -0.1246   -0.4117   -0.2812   -0.1326   -0.4130
   -0.3787    0.0209    0.2702    0.4697    0.0390
   -0.4085   -0.0017    0.2217   -0.2450   -0.2015
   -0.0648   -0.3925    0.6939    0.0669    0.1225
   -0.4683    0.0833    0.0283   -0.3038    0.5265
   -0.4982    0.0867    0.0394   -0.1822   -0.4138

R = 5×5

 -200.7112  -55.5026 -167.6040  -84.7237 -168.7997
         0 -192.1053  -40.3557 -152.4040  -39.2814
         0         0  101.3180  -89.4254   96.0172
         0         0         0   41.0248  -14.9083
         0         0         0         0   24.6386

p = 1×5

     3     1     5     2     4

x(p,:) = R\(Q\b)

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Составьте полулогарифмический график диагонали R чтобы подтвердить, что перестановочное разложение создает коэффициент R со abs(diag(R)) уменьшение. Постройте график сингулярных значений A на том же графике для сравнения. На практике диагональные значения R вести себя подобно сингулярным значениям A. Поэтому можно использовать диагональные значения R как мера для того, насколько близка к сингулярной матрица A является.

semilogy(abs(diag(R)),'-o')
hold on
semilogy(svd(A),'r-o')
legend('Diagonal of R','Singular Values of A')

Решите разреженную линейную систему и используйте результаты, чтобы увидеть, сколько из вектора b лежит в пространстве столбцов S.

Создайте случайную разреженную матрицу 500 на 20 с плотностью 10% и вектором из них. Использование qr для факторизации матрицы в множители R и C = Q'*b.

S = sprand(500,20,0.1);
b = ones(500,1);
[C,R] = qr(S,b,0);

Используйте результаты, чтобы решить $\mathrm{Sx}=\mathit{b}$ с x = R\C.

x = R\C;

Рассмотрим тождества${\Vert \mathit{b}\Vert }^2={\Vert \mathrm{Sx}-\mathit{b}\Vert }^2+{\Vert \mathit{C}\Vert }^2$.

Разделение по норме b, вы получаете новые тождества, которая показывает, сколько из b лежит в пространстве столбцов S:

$\frac{{\Vert \mathrm{Sx}-\mathit{b}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}+\frac{{\Vert \mathit{C}\Vert }^2}{{\Vert \mathit{b}\Vert }^2}=1$.

Первый термин показывает, сколько из b не лежит в пространстве столбцов S, в то время как второй термин говорит, сколько из b лежит в пространстве столбцов S.

t1 = norm(S*x-b)^2/norm(b)^2

t1 = 0.4000

t2 = norm(C)^2/norm(b)^2

t2 = 0.6000

Использование qr для решения матричного уравнения $\mathrm{Sx}=\mathit{B}$ с прямоугольной разреженной матрицы коэффициентов $\mathit{S}$.

Загрузите west0479 разреженная матрица и используйте первые 200 столбцов в качестве прямоугольной матрицы коэффициентов в линейной системе. Для правой стороны уравнения используйте суммы строк $\mathit{S}$. С помощью этой настройки, решение для $\mathrm{Sx}=\mathit{B}$ является вектором таковых.

load west0479
S = west0479(:,1:200);
B = sum(S,2);

Решить $\mathrm{Sx}=\mathit{B}$ использование qr с двумя входами и тремя выходами. Решение линейной системы x = P*(R\C).

[C,R,P] = qr(S,B);
x = P*(R\C);

Проверьте, что $\mathrm{Sx}-\mathit{B}=0$, в пределах точности машины.

norm(S*x-B)

ans = 8.4349e-11

Примечание. Чтобы вычислить верхний треугольный коэффициент R и матрица сочетаний P, но избегайте вычисления ортогональной матрицы Q (который часто является наиболее в вычислительном отношении дорогостоящей частью вызова qr), можно задать B как пустая матрица:

emptyB = zeros(size(S,1),0);
[~,R,P] = qr(S,emptyB);