Используйте legendre функция для работы с вектором и последующего исследования формата выхода.

Вычислите значения функции Legendre второй степени вектора.

deg = 2;
x = 0:0.1:0.2;
P = legendre(deg,x)

P = 3×3

   -0.5000   -0.4850   -0.4400
         0   -0.2985   -0.5879
    3.0000    2.9700    2.8800

Формат выхода таков, что:

Уравнение для функции Legendre, связанной со второй степенью ${\mathit{P}}_2^{\mathit{m}}$ является

Поэтому значение ${\mathit{P}}_2^0\left(0\right)$ является

Этот результат согласен с P(1,1) = -0.5000.

Вычислите связанные значения функции Legendre с несколькими нормализациями.

Вычислим неормализованные значения функции Legendre первой степени ${\mathit{P}}_1^{\mathit{m}}$. Первая строка значений соответствует $\mathit{m}=0$, и вторую строку, $\mathit{m}=1$.

x = 0:0.2:1;
n = 1;
P_unnorm = legendre(n,x)

P_unnorm = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
   -1.0000   -0.9798   -0.9165   -0.8000   -0.6000         0

Затем вычислите значения полунормализированной функции Шмидта. По сравнению с неормализованными значениями форма Шмидта отличается, когда $\mathit{m}>0$ по масштабированию

Для первой строки две нормализации одинаковы, поскольку $\mathit{m}=0$. Для второй строки масштабная константа, умножающая каждое значение, составляет -1.

P_sch = legendre(n,x,'sch')

P_sch = 2×6

         0    0.2000    0.4000    0.6000    0.8000    1.0000
    1.0000    0.9798    0.9165    0.8000    0.6000         0

C1 = (-1) * sqrt(2*factorial(0)/factorial(2))

C1 = -1

Наконец, вычислите полностью нормированные значения функций. По сравнению с неормализованными значениями, полностью нормированная форма отличается коэффициентом масштабирования

Этот масштабный коэффициент применяется ко всем значениям $\mathit{m}$, поэтому первая и вторая строки имеют различные коэффициенты масштабирования.

P_norm = legendre(n,x,'norm')

P_norm = 2×6

         0    0.2449    0.4899    0.7348    0.9798    1.2247
    0.8660    0.8485    0.7937    0.6928    0.5196         0

Cm0 = sqrt((3/2))

Cm0 = 1.2247

Cm1 = (-1) * sqrt((3/2)/2)

Cm1 = -0.8660

Сферические гармоники возникают в решении уравнения Лапласа и используются для представления функций, заданных на поверхности сферы. Использование legendre вычислить и визуализировать сферическую гармонику для ${\mathit{Y}}_3^2$.

Уравнение для сферических гармоник включает термин для функции Legendre, а также комплексную экпоненту:

Во-первых, создайте сетку значений, чтобы представлять все комбинации $0\le \theta \le \pi$ (угол колатитуды) и $0\le \varphi \le 2\pi$ (азимутальный угол). Вот, колатитуда $$\theta$$ колеблется от 0 на Северном полюсе, до $$\pi /2$$ в Экваторе, и $$\pi$$ на Южном полюсе.

dx = pi/60;
col = 0:dx:pi;
az = 0:dx:2*pi;
[phi,theta] = meshgrid(az,col);

Вычислить ${\mathit{P}}_{\mathit{l}}^{\mathit{m}}\left(\cos \theta \right)$ на сетке для $\mathit{l}=3$.

l = 3;
Plm = legendre(l,cos(theta));

Начиная с legendre вычисляет ответ для всех значений $\mathit{m}$, Plm содержит некоторые дополнительные значения функций. Извлеките значения для $\mathit{m}=2$ и отменить рест. использовать reshape функция для ориентации результатов как матрицы с таким же размером, как phi и theta.

m = 2;
if l ~= 0
    Plm = reshape(Plm(m+1,:,:),size(phi));
end

Вычислим сферические гармонические значения для ${\mathit{Y}}_3^2$.

a = (2*l+1)*factorial(l-m);
b = 4*pi*factorial(l+m);
C = sqrt(a/b);
Ylm = C .*Plm .*exp(1i*m*phi);

Преобразуйте сферические координаты в Декартовы координаты. Вот, $$\pi /2-\theta$$ становится углом широты, который колеблется от $$\pi /2$$ на Северном полюсе, до 0 на Экваторе и до $$-\pi /2$$ на Южном полюсе. Постройте график сферической гармоники для ${\mathit{Y}}_3^2$ использование как положительных, так и отрицательных вещественных значений.

[Xm,Ym,Zm] = sph2cart(phi, pi/2-theta, abs(real(Ylm)));
surf(Xm,Ym,Zm)
title('$Y_3^2$ spherical harmonic','interpreter','latex')