Найдем неотрицательное решение линейного метода наименьших квадратов задачи и сравним результат с решением задачи без ограничений.

Подготовим C матрица и d вектор для задачи $$\min ||Cx-d||$$.

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];
 
d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

Вычислите решения с ограничениями и без ограничений.

x = lsqnonneg(C,d)

x = 2×1

         0
    0.6929

xunc = C\d

xunc = 2×1

   -2.5627
    3.1108

Все записи в x неотрицательны, но некоторые записи в xunc отрицательные.

Вычислите нормы невязок для двух решений.

constrained_norm = norm(C*x - d)

constrained_norm = 0.9118

unconstrained_norm = norm(C*xunc - d)

unconstrained_norm = 0.6674

Решение без ограничений имеет меньшую норму невязки, потому что ограничения могут только увеличить норму невязки.

Установите Display опция для 'final' чтобы увидеть выход, когда lsqnonneg концы.

Создайте опции.

options = optimset('Display','final');

Подготовим C матрица и d вектор для задачи $$\min ||Cx-d||$$.

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

Функции lsqnonneg со структурой опций.

x = lsqnonneg(C,d,options);

Optimization terminated.

Функции lsqnonneg с выходами для получения решения, нормы невязки и вектора невязок.

Подготовим C матрица и d вектор для задачи $$\min ||Cx-d||$$.

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

Получите решение и остаточную информацию.

 [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(C,d)

x = 2×1

         0
    0.6929

resnorm = 0.8315

residual = 4×1

    0.6599
   -0.3119
   -0.3580
    0.4130

Проверьте, что возвращенная норма невязки является квадратом нормы возвращаемого вектора невязок.

 norm(residual)^2

ans = 0.8315

Запросите все выходные аргументы, чтобы изучить решение и процесс решения после lsqnonneg концы.

Подготовим C матрица и d вектор для задачи $$\min ||Cx-d||$$.

C = [0.0372    0.2869
     0.6861    0.7071
     0.6233    0.6245
     0.6344    0.6170];

d = [0.8587
     0.1781
     0.0747
     0.8405];

Решите проблему, запрашивая все выходные аргументы.

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqnonneg(C,d)

x = 2×1

         0
    0.6929

resnorm = 0.8315

residual = 4×1

    0.6599
   -0.3119
   -0.3580
    0.4130

exitflag = 1

output = struct with fields:
    iterations: 1
     algorithm: 'active-set'
       message: 'Optimization terminated.'

lambda = 2×1

   -0.1506
   -0.0000

exitflag является 1, что указывает на правильное решение.

x(1) = 0, и соответствующее lambda(1) $$\ne$$ 0, показывающий правильную двойственность. Точно так же x(2) > 0, и соответствующее lambda(2) = 0.