Вычислите и проверьте ортонормированные векторы базиса для линейной оболочки столбцов матрицы полного ранга.

Задайте матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1];
r = rank(A)

r = 3

Начиная с A - квадратная матрица полного ранга, ортонормированный базис, вычисленный orth(A) соответствует матрице U вычисляется в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это потому, что сингулярные значения A все ненулевые.

Вычислите ортонормированный базис для области значений A использование orth.

Q = orth(A)

Q = 3×3

   -0.1200   -0.8097    0.5744
    0.9018    0.1531    0.4042
   -0.4153    0.5665    0.7118

Количество столбцов в Q равно rank(A). Начиная с A имеет полный ранг, Q и A имеют одинаковый размер.

Проверьте, что базис, Q, ортогональна и нормирована в разумной области значений ошибок.

E = norm(eye(r)-Q'*Q,'fro')

E = 1.0857e-15

Ошибка в порядке eps.

Вычислите и проверьте ортонормированные векторы базиса для области значений матрицы неполного ранга.

Задайте сингулярную матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];
r = rank(A)

r = 2

Начиная с A имеет неполный ранг, ортонормированный базис вычисляется orth(A) соответствует только первому r = 2 столбцы матричных U вычисляется в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это потому, что сингулярные значения A не все ненулевые.

Вычислите ортонормированный базис для области значений A использование orth.

Q = orth(A)

Q = 3×2

   -0.7071         0
         0    1.0000
   -0.7071         0

Начиная с A имеет неполный ранг, Q содержит на один столбец меньше, чем A.