Используйте null функция для вычисления ортонормальных и рациональных базисных векторов для ядра матрицы. Ядро матрицы содержит векторы $\mathit{x}$ которые удовлетворяют $\mathrm{Ax}=0$.

Создайте магическую квадратную матрицу 4 на 4. Эта матрица неполного ранга, одно из сингулярных значений равно нулю.

A = magic(4)

A = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

Вычислим ортонормированный базис для ядра пространства A. Подтвердите, что $\mathit{A}{\mathit{x}}_1=0$, в пределах ошибки округления.

x1 = null(A)

x1 = 4×1

    0.2236
    0.6708
   -0.6708
   -0.2236

norm(A*x1)

ans = 4.4019e-15

Теперь вычислите рациональный базис для ядра. Подтвердите, что $\mathit{A}{\mathit{x}}_2=0$.

x2 = null(A,'r')

x2 = 4×1

    -1
    -3
     3
     1

norm(A*x2)

ans = 0

x1 и x2 аналогичны, но нормализуются по-разному.

Найдите одно конкретное решение для недоопределенной системы, а затем получите общую форму для всех решений.

Недоопределенные линейные системы $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ привлекать больше неизвестных, чем уравнений. Недостаточно определенная система может иметь бесконечно много решений или не иметь решения. Когда система имеет бесконечно много решений, все они лежат на линии. Все точки на линии получаются с линейными комбинациями векторов ядра пространства.

Создайте матрицу коэффициентов 2 на 4 и используйте обратную косую черту, чтобы решить уравнение $\mathit{A}{\mathit{x}}_0=\mathit{b}$, где $\mathit{b}$ является вектором таковых. Обратная косая черта вычисляет решение задачи методом наименьших квадратов.

A = [1 8 15 67; 7 14 16 3]

A = 2×4

     1     8    15    67
     7    14    16     3

b = ones(2,1);
x0 = A\b

x0 = 4×1

         0
         0
    0.0623
    0.0010

Полное общее решение недоопределенной системы имеет форму $\mathit{x}={\mathit{x}}_0+\mathrm{Ny}$, где:

Вычислим нулевое пространство Aи затем используйте результат, чтобы создать другое решение системы уравнений. Проверяйте, что новое решение удовлетворяет $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$, до ошибки округления.

N = null(A)

N = 4×2

   -0.2977   -0.8970
   -0.6397    0.4397
    0.7044    0.0157
   -0.0769   -0.0426

x = x0 + N*[1; -2]

x = 4×1

    1.4963
   -1.5192
    0.7354
    0.0093

norm(A*x-b)

ans = 1.8291e-14